2.4 Analyse mathématique des systèmes
des files d'attente
L''etude math'ematique d'un système d'attente se fait
le plus souvent par l'introduction d'un processus stochastique d'efini de
façon appropri'ee. En g'en'eral, on s'int'eresse au nombre X(t) de
clients se trouvant dans le système a` l'instant t (t = 0). En fonction
des quantit'es qui d'efinissent la structure du système, on cherche a`
calculer
* les probabilités d'état pn(t) =
P(X(t) = m) qui d'efinissent le régime transitoire du processus
{X(t)}t>0 ; les probabilit'es pn(t) doivent 'evidemment d'ependre
de l''etat initial ou de la distribution initiale du processus.
* le régime stationnaire du processus stochastique,
d'efini par
pn = lim pn(t) = P(X(+8) = m), m =
0,1,2,...
t--+oo
A partir de la distribution stationnaire du processus
{X(t)}t>0, il est possible d'obtenir d'autres caractéristiques
d'exploitation du système.
2.4.1 Modélisation des systèmes de files
d'attente
Plusieurs variantes existent pour la mod'elisation selon la
nature et le comportement du système. On distingue deux cat'egories de
modèles en files d'attente : les modèles markoviens et les
modèles non markoviens. Si pour les premiers, la propri'et'e d'absence
de m'emoire permet une grande facilit'e dans l''etude, il n'en est pas de
même pour les modèles non markoviens. Cependant, on dispose de
plusieurs m'ethodes, qui permettent de rendre ces derniers markoviens moyennant
certaines transformations.
2.4.1.1 Modèles markoviens
Ils caractérisent les systèmes dans lesquels
les deux quantités stochastiques principales le temps des inter
arrivées et la durée de service sont des variables
aléatoires indépendantes exponentiellement distribuées. La
propriétéd'absence de mémoire de la loi exponentielle
facilite l'étude de ces modèles. L'étude
mathématique de tels systèmes se fait par l'introduction d'un
processus stochastique approprié. Ce processus est souvent le processus
de naissance et de mort {X(t)}t=0 défini par le nombre de clients dans
le système a` l'instant t. L'évolution temporelle du processus
markovien {X(t)}t=0 est complètement définie gràace a` la
propriétéd'absence de mémoire.
2.4.1.2 Processus de naissance et de mort
Le processus d'état stochastique {n(t) : t = 0} est un
processus de naissance et de mort si, pour chaque n = 0, 1,
2
·
·
· , il existe des paramètres
ën et un (avec u0 = 0) tels que, lorsque le
système est dans l'état n, le processus d'arrivée est
poissonnien de taux ën et le processus de sortie est
poissonnien de taux un.
2.4.1.3 Processus de naissance pur
Dans un processus de naissance pur, ën =
ë et un = 0 pour n = 0, 1, 2
·
·
· .
Donc, les arrivées ont lieu a` taux constant et il y a pas de
départs. Pour un tel processus, le nombre de clients dans le
système est évidement égal au nombre d'arrivées
enregistrées pour un processus de poisson classique, si bien que :
Pn(t) = probabilitéque l'état du
système a` l'époque t soit égale a` n
= e--ët(ët)n
n! , n = 0,1,
·
·
·
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