Evaluation des fonctions usuelles sur des variables complexes: algorithmisation des calculs et programmation

I.4. Equations polynomiales dans C

I.4.1. Théorème de d'Alembert

Théorème

Tout polynôme non constant (c'est - à - dire de degré supérieur à 0) à coefficients complexes, admet au moins une solution dans C.

Conséquence

Tout polynôme P non constant à coefficients dans C se factorise en un produit de polynôme du 1^er degré. Le nombre de racines de P est donc n, chacun étant compté autant de fois que sa multiplicité.

Racines complexes d'un polynôme à coefficients réels

Soit P = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ un polynôme à coefficients réels. Soit une racine non réelle de P, avec la multiplicité m. Alors est une racine de P avec la même multiplicité.

I.4.2. Racines carrées d'un complexe non nul

Proposition

Tout nombre complexe non nul z admet exactement 2 racines carrées, qui sont opposées. La méthode est la suivante, en posant et en cherchant sous la forme

du signe de

Alors

I.4.3. Racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul

Définition

Soit z un nombre complexe non nul, et n un entier naturel non nul. On appelle racine n-ième de Z tout nombre complexe z tel que zⁿ=Z.

Proposition

Soit la forme trigonométrique de (avec ), possède exactement n racines n-ièmes données par :

La méthode est la suivante, en cherchant z sous la forme .

Remarques

Les points images M_k de ces n racines n-ièmes sont les sommets d'un polygone régulier convexe inscrit dans le cercle de centre 0 et de rayon

Les n racines n-ièmes de apparaissent dans la factorisation

En particulier, par identification des termes de degré n-1 et des termes constants :

· La somme des n racines n-ièmes de est nulle (si n >1)

· Leur produit vaut

I.4.4. Racines n-ièmes de l'unité

On appelle racines n - ièmes de l'unité les racines n - ièmes dans C du nombre 1. Elles sont données par avec . Si on note alors pour tout (en particulier ).