Evaluation des fonctions usuelles sur des variables complexes: algorithmisation des calculs et programmation

Chapitre 2 : Fonctions à variables complexes

Nous traiterons dans ce chapitre des fonctions que nous connaissons déjà, définies sur des variables réelles. Dans notre nouvelle démarche, nous recherchons des algorithmes pour définir lesdites fonctions sur des nombres complexes. Notons que les algorithmes que nous proposerons doivent produire des résultats aussi vrais pour des complexes en général que pour des réels (qui sont des cas particuliers des nombres complexes).

Les fonctions que nous traiterons sont les suivantes :

1. Fonctions exponentielles

2. Fonctions logarithmiques

3. Fonctions trigonométriques

4. Fonctions trigonométriques réciproques

5. Fonctions hyperboliques

6. Fonctions hyperboliques réciproques

2.1. Fonctions exponentielles

On appelle fonction exponentielle de base a la fonction y = a^x où a est un nombre positif différent de 1 et x la variable indépendante.

André Antibi et Raymond Barra définissent la fonction exponentielle comme « La fonction définie sur IR qui à chaque réel x associe le nombre e^x, dont le logarithme népérien est x »(^8(*))

Il est clair que Antibi et Barra appellent « fonction exponentielle » seule la fonction y = a^x où a = e avec

Plusieurs autres auteurs des livres surtout utilisés au cycle secondaire ont épousé cette définition à l'instar de Jean - Paul Beltramone(^9(*)), Joël Malaval, Denise Courbon. (^10(*))

D'autres auteurs par contre préfèrent l'expression «  fonction exponentielle de base a » pour éviter toute confusion. C'est le cas de Lucien Chambadal (1968) et Nicolas Schons.

Pour la simple raison que l'expression « fonction exponentielle de base a » englobe l'autre expression qui sous-entend la base e, nous adopterons l'expression « fonction exponentielle » pour exprimer les fonctions :

f

{

} avec a > 0

1

:

+

-

IR

a

avec

a

x

IR

IR

x

a

Pour étendre cette notion aux nombre complexes, on s'appuiera sur l'égalité adoptée plus haut dans les pages précédentes (2.1) où est donné en radian. L'équation (2.1) est la forme exponentielle du nombre complexe où

Ainsi, pour définir

avec , On fera des transformations suivantes :

Exemples :

1. 2³⁺ⁱ = 2³ . [cos(ln 2) + i sin(ln 2)]

2. 4⁵⁺⁰ⁱ = 4⁵ = 4⁵ . [cos(0 ln 4) + I sin(0 ln 4)] = 4⁵ [cos 0 + I sin 0] = 4⁵ = 1024

2.2. Fonctions Logarithmiques

Ici, nous ne nous limiterons qu'à l'étude des logarithmes népériens (naturels). L'expression d'autres logarithmes se fera facilement en appliquant la formule de changement de base :

En effet, avec a > 1, b > 1

2.2.1. Définition de la fonction logarithmique

Soit a > 1 et n IR_{_}*. On appelle logarithme à base a du réel n le nombre réel b tel que a^b = n.

Lorsque la base a = 10, on dit qu'il s'agit du logarithme décimal ou logarithme vulgaire ou encore logarithme briggsien que l'on note simplement log n.

Lorsque la base a = e, on dit qu'il s'agit du logarithme népérien que l'on note ln n au lieu de log_e n.

e est le nombre de Néper (^11(*)) obtenu comme somme de la série

* ⁸ Antibi, A. et Barra, R (1998)., « Math TermS, Obligatoire », page 139, Ed. NATHAN, Paris

* ⁹ Beltramone, J.P. et al.(2002), « Declic, Maths terminale S/Enseignement Obligatoire », Ed. Hachette, Paris

* ¹⁰ Malaval, J. , Courbon, D.(2002),  « Math Term ES/ Obligatoire et Spécialité », page 134, Ed. Nathan, Paris

* ¹¹ John Néper (en Français Jean NAPIER) : Baron de Merchiston, mathématicien écossais (1550 - 1617).