Evaluation des fonctions usuelles sur des variables complexes: algorithmisation des calculs et programmation

I.3.3. Forme trigonométrique

Définition

Soit . Il existe une unique classe des réels définies modulo 2ð, telle que. Cette classe de réels modulo 2ð est appelée l'argument de z.

Chacun des réels è de cette classe est appelé une détermination de l'argument de z (ou, par abus de langage, un argument de z), et on note : arg z = è  (2ð).

Remarque

L'argument d'un nombre complexe non nul z possède une unique détermination dans tout intervalle, et en particulier dans les intervalles et.

Proposition

Tout nombre complexe non nul s'écrit de manière unique, avec et. est le module de z et è  est une détermination de l'argument de z. On dit que est écrit sous forme trigonométrique.

Remarques

· , avec et è  réel quelconque. Parler de l'argument de 0 n'a donc pas aucun sens.

· Soit. Alors :

et

Si (ce qui détermine è  modulo ð)

Si (ce qui détermine è  modulo 2ð)

· Si , mais si on n'est pas certain du signe du réel  :

Argument et opérations dans C

Soient u et v, no nuls : et .

. En particulier :

. En particulier :

. En particulier :

. En particulier :

. En particulier :

Argument et cas particuliers

Soit un nombre complexe non nul :

est réel

est imaginaire pur

I.3.4. Fonction exponentielle complexe

Définition

Soit (avec IR) un nombre complexe. On pose , encore noté exp z. On définit ainsi une application de C dans C, appelée exponentielle complexe.

Remarques

La restriction à IR de la fonction est l'exponentielle réelle déjà connue. Sa restriction aux imaginaires purs est : définie précédemment.

Pour tout nombre complexe (avec IR) : . Ainsi

Propriétés

Pour tous nombres complexes z et z' :

tel que (en particulier exp 0 = 1)

et

tel que

L'application exponentielle est donc périodique de période .

Résolution de l'équation exp z = a

Soit un nombre complexe non nul (est le module de a). Pour tout nombre complexe (avec IR)

L'équation exp z = a possède donc une infinité de solutions. Toutes se déduisent de l'une d'entre elles par ajout d'un multiple entier de .

Remarques

D'après les résultats précédents, l'application exponentielle est un morphisme surjectif du groupe (C,+) sur le groupe (C,? ) dont le noyau est Z

L'équation exp z = a (a non nul, cherché sous la forme ) possède une solution unique si on se limite à (par exemple , ou ).