Risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

I.II.3.2 THÉORÈME DE BALKEMA-DE HAAN-PICKLANDS

Théorème Balkema-de Haan-Picklands : Il s'en déduit que la distribution des excès au-dessus d'un seuil élevé converge vers la GPD lorsque le seuil tend vers la lmite supérieure du support de G.

Supposons que X₁, X₂, ..., X_n sont des variables aléatoires de prix indépendantes appartenant à une distribution appelée F(X). Soit x_F, l'extrémité finie ou infinie de la distribution F. Alors, la fonction de distribution dépassant X_i après un seuil donné u, quand y 0, est donné par :

Belkema et de Haan en 1974, ou encore Pickands en 1975, ont théorisé la fonction de Pareto généralisée en montrant qu'elle s'apparente à une distribution limite F_u(y) quand le seuil u tend vers l'extrémité de la fonction. Il s'agit d'une découverte statistique majeure. Si F MDA (H_î), il est alors possible de trouver une fonction positive mesurable par (u) de telle sorte que :

Pour , ou correspond à la distribution Pareto généralisée (GPD) exprimée par :

Ou pour et pour . Néanmoins, le choix du seuil u est primordial pour la réussite de cet exercice de modélisation de la distribution Pareto généralisée. Comme pour le test de fréquence anormale, où nous devions choisir préalablement une fenêtre de test de plus ou moins longue distance, la valeur représentative est généralement choisie en fonction d'un compromis, capable de biaiser l'étude.

se révèle être un paramètre de forme particulièrement important, quant à , il s'apparente à un paramètre d'échelle. Nous pouvons dès à présent émettre une concordance avec le théorème précédent, respectivement et La GPD intègre par sa particularité d'autres formes de distribution. En considérant que > 0, la version paramétrique de G se rapporte à la distribution originaire de Pareto, laquelle est souvent utilisée en actuariat dans l'approche des probabilités d'erreurs. Vilfredo Pareto^34(*) décrivit la répartition de la richesse selon la notation suivante: . En

outre, Quelle est la proportion P des ménages gagnant plus qu'un niveau de revenu u? V. Pareto estimait à -3/2. La puissance est donc en premier lieu élevée au cube puis à la racine carrée divisé par 1. Ceci fut la base des premières lois -stable de Paul Lévy^35(*), repris quelques années plus tard par B. Mandelbrot^36(*) dans son étude sur les variations du prix du coton. A contrario, si < 0 prend la forme d'une loi de Gumbel. Enfin, lorsque = 0, sa correspondante est une distribution exponentielle.

Le premier cas ( > 0) se retrouve pertinent dans le cadre d'une distribution réelle possédant des queues de distribution épaisses. Les estimations de et de sont calculées à partir de l'expression par la méthode du maximum de vraisemblance^37(*). Lorsque > 0.5, Hosting et Wallis montrent que l'estimation tirée du maximum de vraisemblance tend à être asymptotiquement normalement distribué.

I.II.3.2.1 Modélisation paramétrique de la distribution des excès

Cette modélisation de queue de distribution engage un échantillon au-dessus du seuil u, lequel conduit à une forme de loi GPD.

Dans la littérature financière et statistique, les méthodes utilisées reposent sur le comportement graphique des valeurs considérées supérieures à un seuil donné. Cette méthode porte le nom de « Peak-Over-Threshold ». Initialement développé par Picklands en 1975, ce concept fut étudié par de nombreux auteurs^38(*). Cependant, cette méthode reste arbitraire. En réalité, u, doit être assez grand pour que l'estimation de la distribution de Pareto généralisée soit valide, mais pas trop élevée pour garder une certaine cohérence avec le modèle. Cet arbitrage est analogue à la méthode BM vue postérieurement.

* ³⁴ Né en 1848, V. Pareto était un industriel, un économiste et un sociologue italien. Son héritage en tant qu'économiste fut ample, particulièrement en terme de recherches scientifiques et d'équations mathématiques, recourant de manières intensives aux données. Son étude la plus connue concerne la répartition de la richesse correspondant à une loi de puissance.

* ³⁵ Paul. Lévy, né en 1886, est un mathématicien français. Il fait partie des fondateurs modernes des probabilités. On lui doit les lois stables stochastiques : « La distribution de Lévy ». Il fut professeur à l'école polytechnique et enseigna les probabilités à B. Mandelbrot.

* ³⁶ Né en 1924 à Varsovie, B. Mandelbrot fut professeur de mathématiques à l'Université Yale et membre émérite du « Thomas L. Watson Laboratory » d'IBM. Il a notamment publié « Les objets fractales »

* ³⁷ Nous pouvons nous conférer à l'étude d'Embrechts paru en 1997.

* ³⁸ Tel que Smith en 1987, Davison et Smith en 1990 ou Reiss et Thomas en 2001, pour ne citer qu'eux.