Risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

I.II.3.1.2 Sélection de la taille des blocs

La littérature financière classique et l'exercice des statistiques en finance ne définissent pas une dimension standard dans la sélection des blocs. Il faut cependant que s soit de taille suffisamment importante pour que la condition asymptotique vue précédemment soit considérée. L'ingénierie financière dans les faits prend en compte un nombre de maxima caractéristique pour que l'estimation des paramètres de la GEV soit assez précise. Il est donc usuel de prendre s = 21, soit un mois boursier, ou s = 254, soit un an.

I.II.3.1.3 Estimation du modèle BM par le maximum de vraisemblance

C'est à partir de l'échantillon lié à la sélection des maximas précédente que nous pouvons estimer les paramètres de la GEV. La méthode utilisée pour l'évaluation du modèle BM se réfère au maximum de vraisemblance initié pour la première fois par Fisher au début du siècle dernier. Soit l'échantillon de maxima supposé indépendant et , la densité de la loi GEV pour :

La vraisemblance de l'échantillon Y est : . Il fait appel à des procédures numériques^31(*) pour la maximisation de la vraisemblance. Il est alors aisé de calculer les estimateurs dans le cadre de la loi des grands nombres. En revanche, il est difficile de donner un estimateur asymptotique efficace et normal, particulièrement lorsque l'échantillon est de petite taille. R. Smith^32(*) montre qu'il suffit que pour que les états de régularité du maximum de vraisemblance soient conformes. Pour le cas où = 0, la log-vraisemblance est égale à :

Plus précisément, en dérivant cette fonction afin de mettre en scène les deux paramètres exposés antérieurement nous obtenons le système d'équations suivant.

Il est à noter pour conclure qu'il n'existe pas de solution à ces équations de maximisation^33(*).

* ³¹ En réalité l'Algorithme de quasi-Newton

* ³² Dans son ouvrage : « Extreme Value Analysis of environnemental Time series : an Application to Trend Detection of Ground-Level Zone »

* ³³ Utilisation de méthodes numériques, type algorithmes de Newton-Raphson