Risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

I.II.3 MESURE DU RISQUE EXTRÊME

I.II.3.1 THÉORÈME DE FISHER-TIPPET

Théorème Fisher-Tippet : Si pour une distribution G non connue, l'échantillon des maxima normalisés converge en loi vers une distribution non dégénérée, alors il est équivalent de dire que G est dans le MDA de la GEV H_î

A partir des données de prix traitées de façon journalière lors de la crise de Subprimes, nous supposons avoir une suite première d'observations X₁, X₂, ... , X_n issue d'une fonction de distribution inconnue F^27(*). Cet échantillon peut être séparé en k blocs^28(*) disjoints de même longueur s. Les données , i = 1, ..., k sont de natures indépendantes et identiquement identifiées avec comme fonction de distribution F.

Nous nous attachons à connaître les maxima de ces k blocs comme :

Qui agence la base de ce qui sera notre échantillon de données supposées indépendante . La loi fondamentale à la modélisation des maxima est la Generalized Extreme Value (GEV) définie par la fonction de répartition suivante :

Où x est tel que . est le paramètre de forme. La GEV rassemble trois distributions particulières :

§ Si >0, la loi de Fréchet (Type I) :

§ Si <0, la loi de Weibull (Type II) :

§ Si =0, la loi de Gumbel (Type III) :

Ainsi, nous avons exposé sur les graphiques correspondant à chaque itération deux paramètres^29(*) : Le paramètre de localisation et celui de dispersion >0. La GEV prend alors la forme de :

La démonstration fondamentale de la modélisation des maximas est celui de Fisher-Tippet^30(*). Supposons que nous ayons deux suites d'entiers réels tel que et tel que :

Avec H, une loi non dégénérée. , et Pour , les k maxima normalisés. Alors, F est dans le « maximum domain of attraction » (MDA) de H, que nous pouvons écrire plus formellement par .

Fisher-Tippet montre alors que si, et seulement si, H est du type de . La GEV est donc la seule distribution limite non dégénérée pour un échantillon de maxima normalisé. Nous obtenons alors une méthode simple de sélection de forme F. Le tableau ci-joint souligne quelles distributions sont associées aux lois de la GEV.

TAB: MDA
	Gumbel	Fréchet	Weibull
	Normale	Cauchy	Uniforme
	Exponentielle	Pareto	Beta
	Lognormale	Student
	Gamma

I.II.3.1.1 Modélisation paramétrique des maxima par blocs

La modélisation issue du théorème Fisher-Tippet, suppose que l'échantillon de maxima suive exactement une loi GEV.

* ²⁷ A ce stade, aucune hypothèse n'est présupposée

* ²⁸ Un bloc peut correspondre à un mois, un an, etc.

* ²⁹ Les paramètres et peuvent également s'écrire respectivement et

* ³⁰ Démontré en 1928