Risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

I.II.2.2 LOIS DES MAXIMA : RÉSULTAT EXACTS

Le phénomène empirique suit une marché aléatoire, mesuré par une variable X, décrivant l'évolution du prix d'un actif financier. La variable aléatoire X présente la rentabilité logarithmique. Nous dénommons

§ la fonction de densité notée

§ la fonction de répartition de probabilité de la variable aléatoire X.

Soit X₁, X₂,..., X_n une suite de variables aléatoires aux dates 1, 2 ..., n. Nous écrivons F_n la rentabilité maximum et f_n le minimum, dont ceux-ci observées sur n séances boursières. Dans la suite de notre mémoire de recherche, nous traiterons les résultats ne concernant que le maximum (F_n), car ceux obtenus au minimum (f_n) s'en déduisent en considérant la série opposée, démontrée par l'équation suivante :

Si les cours suivent une marche aléatoire _.de variable X₁, X₂,..., X_n indépendamment, alors les distributions du maximum F_n sont conférées par. Les propriétés statistiques du maximum dépendent de G_X pour les grandes valeurs de x. En ce qui concerne les autres valeurs de x, l'influence de G_X(x) se révèle être de moins en moins important avec n. C'est donc dans les queues de distribution de X, par définition synonymes d'extrême, que nous allons nous pencher dans cette étude. Nous pouvons en déduire la forme de la loi limite de F_n en faisant tendre n vers l'infini et en se servant de la formule. La fonction de répartition et . Dans ce cas, la loi limite est dégénérée parce qu'elle se réduit à une masse de Dirac^26(*) portée en u. Toutefois, les formules présentées ci-dessus présentent un intérêt limité. La loi de la variable X est rarement connue précisément en pratique, ainsi que la loi du terme maximum. Nonobstant, même si la loi de la variable X est exactement connue, le calcule de F_n peut être vecteur de difficulté. Dépossédée d'expression analytique, la distribution d'une variable normale se révèle être une intégrale incalculable. Sa n^ème puissance nous conduit à de sérieux problèmes numériques que ce soit pour les grandes valeurs de n ou de x. C'est pour ces différentes raisons que nous sommes astreints à étudier le comportement asymptotique du terme maximum F_n'.

Cependant, Il existe deux théorèmes distincts capables de contourner le problème de dégénérescence. Selon la méthode employée, il s'agit du théorème de Fisher-Tippet et du Théorème Balkema-de Haan-Picklands. Nous allons rentrer dans les détails dans la section suivante.

* ²⁶ Dans une masse de Dirac, mesuré a partir d'un espace et un point a dans X, tel que si et si .