1.2 Notions de base
1.2.1 Les moments conditionnels
La définition d'un processus ARCH fait intervenir la
notion de variance conditionnelle. Nous avons vu que la variance conditionnelle
permet de modéliser la variance locale du processus a chaque instant t,
en fonction des observations antérieures.
Cette notion peut être étendue a tous les moments
de la série chronologique. Ainsi, l'espérance conditionnelle du
processus {Xt} au temps t est la valeur moyenne attendue du processus au temps
t calculée en tenant compte des valeurs du processus observées
dans le passé. Pour illustrer ce concept, considérons la marche
aléatoire
xt = xt_1 + €t, €t i.i.d r' ,A/ (0, 2)
Calculons son espérance conditionnelle en Xt, tenant
compte des observations passées {Xt_i, i > 0} : par
linéarité de l'espérance, on peut écrire :
E (Xt/It~1) = E (Xt~1/It~1) + E ("t/It-i)
Le premier des deux termes de la somme est la valeur attendue
de Xt sachant {Xt_i, i > 0}. Comme on connait Xt_i, ce
terme est l'espérance d'une valeur fixée Xt_1 et donc
:
E (Xt/It~1) = Xt~1 + E ("t/It-i)
En ce qui concerne le deuxième terme, il faut observer
que "t ne dépend pas des réalisations passées du processus
{Xt_i, i > 0} (car le processus {€t} est IID). La
connaissance du passé ne modifie donc pas la valeur attendue de "t et on
peut écrire :
E (Xt/It~1) = Xt~1 + E (€t) = Xt~1:
L'espérance conditionnelle d'une marche
aléatoire en t est donc la valeur du processus en t - 1. On peut
interpréter ce résultat en énonçant que le meilleur
prédicteur linéaire de la valeur moyenne d'une marche
aléatoire est réalisé en répétant sa
dernière valeur observée.
Rappelons a présent la définition
générale de l'espérance conditionnelle en termes de
variables aléatoires. Pour tout couple de variables aléatoires
(X, Y ) continues de densite f (., .), la densite conditionnelle
de X sachant que Y = y est definie par
fX[17 (x/y) = f (x, y)
fy (y)
pour autant que fy (y) > 0. Il est donc naturel de definir
l'esperance conditionnelle de X par :
E (X/Y = y) = f_#177;:dx xfxly (x/y)
pour les valeurs de y telles que fy (y) > 0. Dans le
contexte des series chronologiques, la variable aleatoire X est la valeur Xt du
processus au temps t, alors que la variable Y represente l'ensemble des valeurs
{Xt_i, i > 0} = {Xt_i, i > 1} prises par le processus avant le temps t.
Dans la suite de cette section, nous noterons cet ensemble It_1 :
It1 = {Xt_i,i > 0}.
It1 represente donc l'ensemble de l'information disponible
jusqu'au temps t--1 inclu. Lorsque t augmente, It1 contient
davantage de variables aleatoires, c'est pourquoi on peut ecrire :
It1 C I C It+1 C It+2 C . . .
Nous avions observe dans l'exemple ci-dessus de la marche
aleatoire que l'esperance de Xt_1 calculee conditionnellement à It1 =
{Xt_i, i > 0} revient a prendre l'esperance d'une valeur connue Xt_1 et est
donc egale à cette valeur Xt_1. On peut ecrire formellement ce resultat
comme suit :
E (Xt_i/It-1) = Xt_i.
On peut bien entendu generaliser cette propriete a l'esperance
de Xt conditionnellement a tout ensemble I, contenant Xt, et nous obtenons la
première propriete de l'esperance conditionnelle :
E (Xt/I8) = Xt, sits
Une deuxieme propriete importante de l'esperance conditionnelle
est la loi des esperances iterees :
E (Xt/I7.) = E (E (Xt/I8)/Ir)
, si r et s sont tels que Ir C Is
(alors si r s), et, en particulier :
E (Xi) = E (E (Xt/I5)).
Ce résultat fondamental est très utilisé
car il permet souvent de calculer assez facilement une espérance
après avoir conditionné le processus par un ensemble
15.
La notion de variance conditionnelle est naturellement
définie a partir de celle de l'espérance conditionnelle, par la
définition de la variance en fonction de l'espérance.
2 t = V (Xt/It~1)
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