= E (X2 t /it1) -- E (Xt/It~1)2 . 1.2.2 La kurtosis et la
skweness
Soit jUk le moment empirique d'ordre k du processus Xt
|
La kurtosis
|
k = E [Xt -- E [Xt]]k = 1 XT
T
t=1
|
(Xt - ~X~k
|
Definition 1.2.1 On définit une nouvelle mesure : le
degré d'excês de Kurtosis.
3.
Degr,e d0exc~es de Kurtosis =
4
2
2
Definition 1.2.2 La Kurtosis ou le coefficient d'aplatissement
pour un échantillon de taille T s'écrit :
|
KU = 4
2
2
|
~!
Ti--oo
|
\/ )
24
A/ 3, .
T
|
Sous l'hypothêse nulle de normalité, on montre que
:
~!
,A/ (0,1).
Ti--oo
K -- 3
T
q24
La Kurtosis mesure le caractère pointu ou plat de la
distribution de la série. La Kurtosis de la distribution normale est 3.
Si la Kurtosis est superieur a 3 (queues épaisses), la distribution est
plutôt pointu (distribution leptokurtique); si la Kurtosis est
inférieur a 3, la distribution est plutôt plat (distribution est
dite platikurtique).
La skweness
Définition 1.2.3 La skweness ou le coefficient
d'asymétrie pour un échantillon de taille T s'écrit :
(Sk)1 2 = 3
3
~
r )
6
N 0, .
T
~!
Ti--oo
2
2
Sous l'hypothêse nulle de distribution normale et donc par
conséquent de symétrie, on montre que :
|
(Sk)1 2
|
~!
Ti--oo
|
,A/ (0,1).
|
|
q 6
T
|
La Skewness est une mesure de l'asymétrie de la
distribution de la série autour de sa moyenne. La Skewness d'une
distribution symétrie, telle que la distribution normale est nulle. La
Skewness positive signifie que la distribution a une queue allongée vers
la droite et la Skewness négative signifie que la distribution a une
queue allongée vers la gauche.
1.2.3 La volatilité
La volatilité est une mesure de l'instabilité du
cours d'un actif financier. Elle mesure l'amplitude des variations d'une
action, d'un produit dérivé ou d'un marché. Il s'agit d'un
paramètre de quantification du risque de rendement et de prix. Les
séries monétaires et financières sont
caractérisées par le clustering de volatilité, a savoir
les périodes de forte volatilité alternent avec les
périodes de faible volatilité. Ce phénomène, que
nous appelons aussi l'hétéroscédasticité
conditionnelle, est particulièrement fréquent dans les
données boursières, les taux de changes ou d'autres prix
déterminés sur les marchés financiers. Nous allons
présenter quelques méthodes pour me-surer la volatilité.
Elles sont groupées selon leurs caractéristiques : mesurer la
volatilité en utilisant les formules statistiques ou en utilisant les
modèles.
Les mesures statistiques
Sur le marché financier, la volatilité est
mesurée comme l'écart type de la rentabilité. L'estimation
de l'écart type des rentabilités journalières servent
comme une méthode utile pour caractériser l'évolution de
la volatilité. Cette
statistique mesure la dispersion de la rentabilité :
~ = T - 1
qPT ~Rt ~ R2 t=1
on R~ est la rentabilité moyenne de
l'échantillon. L'écart type est une mesure simple mais utile de
la volatilité. Quand l'écart type est grand, la chance d'avoir
une rentabilité élevée positive ou négative est
grande. Plusieurs études ont utilisé la modification de
l'écart type pour mesurer la volatilité.
Les modèles
Les formules statistiques ne sont effi caces a mesurer la
volatilité que dans les cas on la valeur de l'écart type en t ne
dépend pas de celle dans le passé. Pour ces cas, les mesures en
utilisant des modèles sont plus effi caces. D'après Engle, la
volatilité sur le marché financier est prévisible. Cette
afli rmation n'est justifiée que dans les cas l'effet ARCH existe. Dans
les modèles, les statistiques des séries temporelles sont prises
pour trouver la meilleure valeur anticipée de la volatilité. Et
en utilisant les statistiques des séries temporelles, il est possible de
déterminer si l'information récente est plus importante que celle
dans le passé.
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