Analyse des séries chronologiques. les modèles ARCH et GARCH

Chapitre 4

Extension du modèles (G)

ARCH

Un problème se pose quand on estime les paramètres des modèles (C) ARCH pour un ordre plus élevée : les coefficients estimées violer la contrainte de non négativité de la variance. Pour éviter ce problème, John Geweke [1986] a suggère d'utiliser une approche multiplicatif de la variance conditionnelle :

h t = exp (c) :"²¹

t1:"²²

t2: : : : E2~p

tp.

Cette expression est toujours positive, indépendamment du fait que les paramètres soient positifs ou négatives. En prenant les logarithmes, on obtient

ln (h2 ) + ₂ ln ("2 )

) = c + 1 ln (€2 ) + ~ ~ ~ + çb_p ln (€2

t t.1 t2 tp

Tout les modèles examinées jusqu'a ici présentent l'inconvénient que les chocs positifs est négatifs exercent le même impacte sur la variance conditionnelle et ces signes est disparus. D'autre part, il est bien connu que la réaction de la volatilité du cours des actions est différente si les chocs sont négatifs, c'est-à-dire elle produise de mauvaise nouvelle.

4.1 Modèles asymétriques

La seconde grande approche couvre les modèles ARCH non linéaires et plus particulièrement la prise en compte des phénomènes asymétries. L'idée est toute simple : l'effet hétéroscédastique n'est sans doute pas le même suivant que l'erreur précédente est positive ou négative. Deux grandes classes de modèles ont été proposées :

4.1. MODELES ASYMETPJQUES

- Nelson [1990] s'est intéressé aux évolutions asymétriques de la variance à l'aide des modèles EGARCH.

- Engle et Bollerslev [1986] ont étudié les modèles ARCH à seuils (TARCH) on la variance est une fonction linéaire définie par morceaux qui permet différentes fonctions de volatilité selon le signe et la valeur des chocs. Rabemananjara et Zakoian [1991] ont proposé une généralisation avec les modèles les modèles TGARCH.

4.1.1 Modèle EGARCH

Dans le cas du modèle GARCH, les résidus sont au carré avant les estimer. Mais, il est possible que les mouvements en baisse et les mouvements en hausse donnent des effets différents sur la prédiction de la volatilité. Nelson est le premier enquêteur du modèle de l'effet levier (c'est-à-dire les mouvements en baisse ont plus d'infiuences que les mouvements en hausse).

Definition 4.1.1 Un processus € satisfait une représentation EGARCH (p, q) si et seulement si :

{ "t = ~ ht q j"t_ij

log h2 t = c + Pq i=1 i log h2 t_i + Pp i=1 ~i t_i + Pp q "t_i

i=1 ~i

h2 h2

t_i

oh le résidu normalisé ij est un bruit faible.

En utilisant le modèle EGARCH, Black trouve que la volatilité sur le marché boursier a tendance à augmente après les rentabilités négatives et a tendance à baisser après les rentabilités positives. Le modèle EGARCH exploite cette régularité empirique en mettant la variance conditionnelle en fonction de la taille et le signe de résidus retardés. Etant différent par rapport au modèle GARCH (p, q).

Remarque

Le modêle EGARCH ne fait aucune hypothése sur les paramétres q et pour assurer la non négativité de la variance conditionnelle.

Les coefficients _i tel que i = 1, 2,..., p, est typiquement négatif, donc un choc positif des rentabilités entraine une volatilité moins élevée qu'un choc négatif. Le modèle EGARCH donne des différences par rapport au modèle GARCH :

- Premièrement, les bonnes et les mauvaises nouvelles ont des impacts différents sur la volatilité dans le modèle EGARCH mais elles ont des mêmes impacts dans le modèle GARCH.

- Deuxièmement, les nouvelles importantes ont des impacts plus importants dans le modèle EGARCH que dans le modèle GARCH standard.