Analyse des séries chronologiques. les modèles ARCH et GARCH

3.5 Identification et tests

Nous avons déjà indiqué que l'analyse de la structure de corrélations du carré des observations d'un processus GARCH (p, q) permet de déceler l'ordre du modèle. Nous allons considérer dans cette section le problème plus général du choix de l'ordre d'un modèle ARMA-GARCH et nous verrons comment développer des tests pour les identifier. Nous savons que l'outil de base permettant d'identifier l'ordre d'un modèle ARMA est la fonction d'autocorrélation ou d'autocorrélation partielle des observations Xt. Cet outil est en réalité toujours valable dans le cas d'un modèle ARMA avec le processus d'innovation GARCH. En effet, par les propriétés des processus GARCH étudiées précédemment, les innovations du modèle sont de moyenne nulle et non corrélée. On en déduit facilement que le comportement des fonctions d'autocorrélation et d'autocorrélation partielle sont identiques aux modèles ARMA étudiés.

Cependant, les innovations GARCH imposent une modification pour la fonction d'autocovariance ^{^}h
·

Comme nous l'avons étudié précédents, le test porte-manteau permet à ce niveau de conclure si des corrélations linéaires persistent dans les résidus et. Par la propriété de non corrélation des processus GARCH, nous savons que ce test ne suffit pas pour conclure. En conséquence, le développement de méthodes pour tester si une composante GARCH est présente ou non dans le processus d'innovations est très important. Une méthode pour identifier une telle dépendance non linéaire des résidus consiste à utiliser à nouveau le test portemanteau sur le carré des résidus e2 t . La procédure pour tester s'il réside des corrélations sur e _t est alors la suivante :

- Calcul de la moyenne de e2 t :

^^vT =

1 T

XT t=1

e2 t

- Calcul de la fonction d'autocorrélation empirique de e2 t :

PT ~1 /e2 t+h - ^vT ~ (e2 _t - ^{^}vT )

t=1

^{^}PT (h) = PT t=1 (e2 _t - ^vT )2

- Calcul de la statistique du test porte-manteau :

) = QT (e2 t

XT t=1

(^^PT (h))^2

Sous l'hypothèse nulle selon laquelle les e2 t sont non corrélés, cette statistique est distribuée asymptotiquement selon une loi x² k
·

En cas de rejet de l'hypothèse nulle, il faudra donc envisager d'ajuster un modèle (G) ARCH au processus des innovations. Pour identifier quels ordres peuvent être ajustés a ce processus, si €t est un processus GARCH (p, q), alors le €² est un processus ARMA (m, q), on m = max (p, q). Ceci implique que l'analyse des autocorrélations du carré des résidus e2 t peut être mise en uvre afin de trouver m et q, et d'en déduire p.

3.5.1 Tests d'effets ARCH/ GARCH

Comment tester la présence des effets (G) ARCH dans la série X ou dans le résidu du modèle linéaire autorégressif?

Deux principaux tests existent :

- Tests d'autocorrélation sur les carrés €² : application des statistiques usuelles du type Q - stat (Box Pierce, Ljung Box etc..).

- Les tests contre un modèle non-linéaire spécifique (comme les tests du LM d'absence d'auto-corrélation sur €2 t ).

Les tests du ML

Puisque l'estimation de modèles non-linéaires est en général plus diffi cile que celle des modèles linéaires, il est naturel de considérer des tests qui, bien qu'avec des alternatives non-linéaires spécifiques, ne requièrent pas l'estimation de ces alternatives.

C'est a cette catégorie qu'appartiennent les tests du ML. Nous disposons ainsi de trois tests de ce type, chacun testant un type de non-linéarité : ARCH et BL.

AR(p) contre AR(p) a erreurs ARCH(p) Dans ce type de tests, on considere un processus (Et) bruit blanc gaussien, c'est-à-dire i.i.d. dont la loi est Ai (0, o^-2). Les hypotheses sont alors

{H0 : Xt = ~ + Pp i=1 ~iXt~i + "t

_q

H1 : Xt = ~ + Pp c + Pp

i=1 ~iXt~i + j=1 0.4-i

On estime le modele (Ho) par la methode de moindres carres, et on calcule les residus (&t) obtenus. On estime alors par la methode de moindres carres la regression

2 Et = c +

X p j=1

PT t=1 v2 j^"2 t tj + vt avec R^2 = 1 ~ Et=1 lit - ~"):

La statistique du ML est alors asymptotiquement equivalente à T x R². Si l'on pose LM0 = T x R² alors, sous (Ho), LM0 est asymptotiquement distribuee comme un chi-deux à p degres de libertes.

AR(p) contre BL(p, 0, P,Q) Dans ce type de tests, on considere un processus (Et) bruit blanc gaussien, c'est-à-dire i.i.d. dont la loi est .Af (0, cr²). Les hypotheses sont alors

~ H0 : Xt = ~ + Pp i=1 ~iXt~i + "t

H1 : Xt = 6^. + _Eli=1 aiXt_i + Et + _PP PQ j=1 ijXt~i"t~j

i=1

Là encore, on estime le modele (Ho) par moindre carres, ainsi que '6^-2, estimateur de o^-2. La statistique du test ML est

" XT #h i " XT #

LM1 = ^{^}~^{~2 ^}z1_;t^{^}"t ^{^}M11 ~ ^M10 ^M1

00 ^{^}M01 ^{^}z1_;t^{^}"t ;

t=1 t=i

oil

^{^}z0_;t = (^-1, Xt-1,
·
·
· , Xt^--p)

^{^}z1_;t = (e^.t-1Xt-1, e't-1Xt--P, e^.t-2Xt-1, et-2Xt--P, et--QXt-1, et--QXt

et

^^Mii =

XT t=i

zi,t

Zip pour i = 0, 1

^{^}z1_;t

^t zo,t.

_XT
t=i

¹C/^{1 -}01 = ¹0^-10 =

Il est possible de montrer que sous (H0), LA) est asymptotiquement distribuée comme un chi-deux a P Q degrés de

libertés.

Le test RESET

On estime ici les parametres du modele linéaire

1/0 : Xt = +

X p i=i

aiXt_i + Et

et on calcule les résidus obtenus &t, les valeurs ajustées f(t = +

E^p.=i ai

T- .kt_i et la somme des carrés des résidus SCR0 = Et_i Et. On estime

alors, par la méthode des moindres carrés, les parametres de

^^"t = cto +

X p i=i

aiXt_i +

h J=1

bj ^Xj t+ vt,

v-T -2

et on calcule SCR =2_ v_t . La statistique de test est

RESET =	[SCR0_SCR1] h-1
	SCRi/ (T h)

qui suit sous (H0) (hypothese de modele AR (p)) un loi de Fisher F (h-1, T-p-h).

Test de McLeod

Le test de McLeod qui est semblable au test de Ljung-Box

a la différence que ce sont les résidus au carré qui sont évalués :

Q (p) = T (T + 2)	X p i=i	PZ (h)
		T -- i :