Analyse des séries chronologiques. les modèles ARCH et GARCH

3.4.2 Modele avec erreur GARCH

Partons du processus ARMA (r, s)

0 (L) Xt = 111 (L) Et (3.1)

on 0 (L) = 1-01L-02L²--
·
·
·--O_rL^r, w (L) = 1- 1L- 2L²--
·
·
·-- ₈L⁸ et Et est un processus GARCH (p, q). Supposons que l'on observe cette série jusqu'au temps T. Toute prévision _XT+h a l'instant T + h reproduisant la structure de la série est de la forme

XT+h =

r i=i

~iXT +hi ~

Xs j=1

jET-Fh--i + "T +h:

Le prédicteur optimal XT+h est de la forme :

XT+h = E [XT#177;h/lt]

=

r i=i

OiE [XT +hiIt] ~

Xs j=1

jE [ET-Fh-j/it] + E [ET#177;h/lt]

=

r i=i

OtE [XT +hiIt] ~

Xs j=1

jE [ET-Eh-J/1d

puisque E [ET#177;h/lt] = 0.

Considérons le cas du processus AR (1) on 101 < 1 et Et est un processus GARCH (1,1). En effet, dans le cas d'erreurs GARCH, nous savons que

les erreurs au carre suivent un processus ARMA (1,1) et les previsions des erreurs au carre sont :

4 = c +(01+ ¹⁾ 4-1 + vt ~ 1Vt-1

L'esperance conditionnelle par rapport a it de cette relation permet d'obtenir E [E4,_#177;h/lt] en fonction de E [E4,_#177;h__i/It] pour i > 0.

E [ET² #177;i/it] = c + (01+ 1) "2 T iVT on VT = hT² -- Et²

E [4+2/It] = c + (01 + 1) E [E7,² +1/1-t ]

= c + ₍₀₁ + 1) (c + (01 + 1) ET ² ivT)

E [4-Fh/lt] = c + (01 + 1) E [ET² #177;h-i/it]
·

3.4.3 Erreur de prevision

Calculons a present l'erreur de prevision dans le but de determiner les intervalles de prevision. En considerant que les parametres ai sont compatibles avec l'hypothese d'inversibilite du processus, le modele (3.1) peut se reecrire sous la forme d'un processus MA (oo), et on peut donc ecrire :

XT+h =

1 X i=0

"YiET-Fh-i

on est le coefficient du developpement de 0^-1 (L) W (L) . En utilisant cette representation pour calculer le predicteur optimal, on peut ecrire :

XT+h = _X1 jET-Fh-i
i=h

et on en deduite l'erreur de prevision :

ET (h) = XT _+h ~ XT+h

=

Xh _ 1 i=0

~i"T +hi:

La precision de la prevision peut a present etre mesuree par la variance de ET (h) conditionnellement a l'information it disponible a l'instant T :

_Xh _ 1
i=0

V [ET (h) /¹t] =

^-)/E [4+h-z/it]

Nous pouvons à présent voir la grande différence entre la prévision avec ou sans erreur ARCH dans le processus d'innovation : si un erreur ARCH est présent, alors E _{~"2T+h_i/It]} dépend en général le temps, donc du point de référence à partir duquel la prévision est effectuée. A l'inverse, dans le cas d'un modèle homoscédastique dans lequel E ["2 T +h_i/It ] = ², la variance de la prévision des erreurs se réduit à Ph_1

i=0 'y2 i a2 ne dépend pas

de l'ensemble d'informations contenues dans It.