3.4 Prevision
Une application importante de la théorie des modeles
ARCH consiste a évaluer la précision de prévision des
valeurs futures d'une série chronologique. Dans le cas d'un processus
ARMA, nous avons vu que la variance
des prévisions dépend de l'horizon de
prédiction et de la variance inconditionnelle de la série. En
particulier, cette variance est indépendante du comportement local de la
volatilité du processus a l'instant on on s'apprête a calculer les
intervalles de prévision. Par contre, en ajustant un modele GARCH, nous
allons voir suivant Bera and Higgins [1993] comment il est possible d'utiliser
cette volatilité locale pour mesurer les intervalles de
prévision.
3.4.1 Modele avec erreur ARCH
Supposons un processus AR (1) sans constante pour
modéliser la moyenne conditionnelle
Xt = 0Xt_i + Et
on Et/it_1 rs, Ar(0, ht2).
L'erreur suit un processus ARCH (1) de variance conditionnelle tel que ht = c +
014_1. Nous avons dérivé précédemment les
espérances et variances conditionnelles du processus ARCH. Nous
connaissons aussi les formules pour les prévisions XT+h et le
erreurs de prévisions E4,#177;h d'un modele AR (1) supposant
un bruit blanc fort des résidus. Le prédicteur optimal XT+h est
la moyenne de ces prévisions, conditionnellement a l'information it
disponible a l'instant T. Plus spécifiquement,
E (XT#177;h//t) = 0hXt
V (ET#177;h//t) = E [4-Fh + 02E4-'#177;h-i +
·
·
· + (0h-1)2 E9
+1
+ terme croises/It] (oh-1)2
= E [E4,#177;h/lt] + 02E [4+h-1//t] E
[4+1/1-t] + 0.
Sachant que E [4+h/It] = E [4+h_1/It] =
·
·
· = E [4+1/1-t] = o-2 et la formule se simplifie
ainsi :
V (ET#177;h/it) = (1 + 02 + . . . +
(0h-1)2) 2.
Dans le cas d'un terme d'erreur ARCH (1), nous avons
montré que les erreurs au carré suivent un processus AR (1)
"2 t= c + 014-1 +vt on E(vt) = 0. Ainsi, nous avons
E (4#177;h/lt) = c + 0iE (4+h-1/It)
E (4#177;1/1t) = c + 0iE (4/10 = c + 014
E (4+2//t) = c + 01E (4+1//t) = c + 01 (c + 014) = c 01c +
0T4
E (4#177;h/lt) = c + 0ic +
·
·
· + 0h1"2T
Il s'agit alors de remplacer les termes appropries dans
l'equation suivante :
V (ET#177;h/lt) = E [ET2 #177;h/it]+02E
[4+h-1/z] +. . .+ (oh-1)2 E [4+1/1-t] .
Ainsi, les acteurs des marches financiers peuvent etablir
leurs previsions de la volatilite a partir des informations les plus recentes
dont ils disposent. Dans le cas du modele GARCH (1,1), nous avons :
ht = c + 014-1 + 1h2t-1
En supposant que les donnees jusqu'au temps T sont disponibles,
la prevision de la variance conditionnelle d'une periode est
117+1 = 117,2 (1) = c + 01E7,2 + 1h2T
Il est possible d'ecrire la prevision d'une autre maniere et
en particulier la prevision de plusieurs periodes. En mettant Et = ntht au
carre, nous obtenons l'expression E? = 704. Remplagons cette expression dans la
formulation du modele GARCH (1,1), nous avons
h? = c + oi (74_14_0 + 14-1
Inserons maintenant l'expression cbiht2_1
-- cbiht2_1 dans l'equation precedente
4 = c + oin?_14_1 + 1h2t_1 + olq_i -- olq_i
= c
+ (cbi + l) 4_1 + 014_1 (alt-1 -- 1)
A partir de cette formulation, nous pouvons ecrire la
prevision de la variance conditionnelle de plusieurs periodes. D'abord, la
prevision d'une periode est
14 (1) = c + (01 + i) 14 + 014 (74 -- 1) Pour la
prevision de deux periodes, nous avons
114-, (2) = c + (01 + 1) 4+1 + 014+1 (74+1
-- 1) Sachant que E [(4+1 -- 1) /It] = 0, alors
14 (2) = c + (01 + 1) 4+1
= c + (01 + 1) (c + (01 + 1)4 + 0114 (74
-- 1))
Pour la prévision de trois périodes, nous
avons
h2 T (3) = c + (1 + 1) h2 T +2
= c+(01+ 1)(+ (01 + i)(C + (01 + 04 + 014 04, --
1)))
Ainsi, en répetent les substitutions, pour la
prévision de h périodes, nous avons
hT (h) =
|
[1
~(°1 + 1)11-1]
1 -- (01 #177; i) #177; (01 + i)h-1 14 (1) .
|
|
Et quand h oo, la variance conditionnelle tend vers la valeur
d'équilibre i_(0:+ ) .
| 
