Analyse des séries chronologiques. les modèles ARCH et GARCH

2.2.2 Modele GARCH (1, 1)

Pour modéliser les données empirique sur le marché, financiere, un modele GARCH (1,1) est souvant suf fisante. Il est donne par l'équation

Yt = X_t^' 0 + Et, Et = Ti_t ht et ht = \/c + 0"²t_1 + h²t-1

avec c > 0, 0 > 0 et > 0. Dans ce modele, les carrés des résidus suit un processus ARMA (1,1),

"2t = c + (0 + ) "²t-1 -- vt-1 + vt

Il est stationnaire pour 0 < 0 + < 1, oft vt = E²_t -- h²_t est un processus d'innovation pour "²_t. Sous la condition de stationnarité de second ordre, la variance inconditionnelle du processus Et existe et constante au cours du temps. Sachant que V (Et) = E (E²_t) , il suffit a partir de la forme ARMA (1,1) sur E²_t de définir la variance du processus : V (Et) = c 0^-1 (1) =

c

1-(q+ ).

Selon Jurgen Franke, Wolfgang Hardle et Christian Hafner [2004] , la kurtosis existe si

30² + 20 + 2 < 1

et donne par : Ku =

E (4) = 3 [1 -- (0 + )2] (E (€t ))2 ^1 -- (0 + )2 --^20^2

Elle est toujours supérieur a trois. Ainsi, si 0 tend vers zéros, l'hétéroscédasticité est disparu et la valeur de la kurtosis tend vers trois. Enfin, on peut montrer que pour un processus GARCH la kurtosis est directement liée a l'hétéroscédasticité conditionnelle.

Considérons le cas de la kurtosis associée a la loi non conditionnelle dans un processus GARCH conditionnellement gaussien tel que Ti_t rs^, Ai (0, 1) . Dans ce cas, les moments conditionnels d'ordre 2 et 4 du processus Et sont liés :

E 4/It-1] = 3 [E [4/It-1]] 2 .

En effet, on rappelle que si une variable centrée x suit une loi normale, alors

E (x⁴) = 3 (V (x))² = 3 (E (x²))² .

Si on applique l'espérance sur les deux cotés de l'équation précédent, il devient

E [E [4 /1^-t_i]] = E [4]

3E [[E [4/1t-1 ]]2] 3 _[E [E [4/1t-i]]] 2

= 3E [4] .

On peut déduire que la loi marginale de Et a des queues de distribution plus épaisse (distribution leptokurtique) qu'une loi normale puisque

E [Et] 3E [4] .

(E (€i ))²

De plus, on peut calculer la kurtosis comme suit : K_u = 3 [E [E [4/1t_1]]]²

= 3(E (4))2 + (E (€i ))^2

3 (E (E?))^2 [ [E [4/It-1 ]] 2 - (E (ED)2]

= 3 + 3 (E (4))2 [[E [4/Z-1 ] ] 2 - E (E (4/1t-1))2]

3 + ₃V [E [E? /It-i]]

=

(E (4))²

la kurtosis est donc liée a une mesure de l'hétéroscédasticité conditionnelle.

Modeles ARMA-GARCH

C'est Weiss [1986] qui a introduit dans la variance conditionnelle des effets additionnels de variables expliquées. En effet, la modélisation GARCH peut être appliquée non au processus initial, mais au processus d'innovation. Ceci permet alors d'introduire divers effets additionnels de variables explicatives soit dans la moyenne conditionnelle, soit dans la variance conditionnelle. Par exemple, on peut considérer un modele de régression linéaire avec erreurs GARCH :

fYt = a Xt + Et

lEt ' GARCH (p, q)

Ce modèle est appelé modèle de régression avec erreurs GARCH. Dans le deuxième cas, le modèle consiste en un processus ARMA avec un processus d'innovation GARCH :

~

~ (L) Xt = ~ (L) "t €t ~ GARCH (p, q) Ce modèle est appelé modèle ARMA - GARCH.