Chapitre 3
Estimation, prevision et tests
3.1 Estimation
Dans cette section, nous allons traiter l'estimation des
paramètres d'un modèle (C) ARCH, et, plus
généralement, d'un modèle de régression avec erreur
(C) ARCH. Les modèles introduits reposent sur des formulations des
moyennes et variances conditionnelles.
En pratique celle-ci souvent paramétrées de
façon que la moyenne conditionnelle mt (0) et la variance conditionnelle
h t (0) apparaissent comme des fonctions de paramètres
inconnus et de valeurs passées du processus. La connaissance de, ces
moments ne suffit cependant pas sans hypothèse supplémentaire a
caractériser la loi conditionnelle du processus les méthodes
d'estimations sont envisagées :
- La méthode de MV,
- La méthode de PMV,
- La méthode MV sous d'autres lois.
Estimation lorsque les moments sont paramètes
Dans la suite, nous indexons par o les espérances et
les variances calculées par rapport a la vraie loi du processus. Nous
reprenons ici la représentation de Gouriérous. Soit un
modèle tel que :
~E ( )
it/it~1, xt = E (it/7t~1) = mt (0)
( )
V
it/it_1, xt = V0 (it/7t~1) =
h2t (0°) on 00 est la vraie
valeur inconnu du paramètre 0 appartenant a e inclus dans k:
Nous notons :
f M3t (0) = E. (Y3/It-1)
t Ku (0) = Ea (Y4/It-1)
les moments d'ordre supérieure.
Nous commencons par présenter les méthodes du MV et
PMV.
3.2 La methode de MV
Pour comprendre cette approche, nous allons tout d'abord
considérer le cas le plus simple d'un processus ARCH pur pour Y. Nous
étudierons ensuite le cas des processus GARCH, et enfin des modeles de
régression aves erreur (G) ARCH et des modele ARMA -- GARCH.
3.2.1 Estimation des parametres du modele ARCH
L'estimateur des parametres de modele ARCH se base tres
souvent sur la maximisation de la fonction de vraisemblance. Nous supposons que
le processus Yt est conditionnellement gaussien. La vraisemblance
associée a Yt conditionnellement au passé it_1 est donc
(Yt/it-i 0) = 1
exp ( (yt -- rat (6))2)--
r ,
ht Or 2h2t
,
et dépend du vecteur 0 = (00, . . . , Op) . La
fonction de vraisemblance de (yi, y2, ... , yT)conditionnelle a /0 = 0 et par
conséquent
T
r (yi, y2, - - - , yT, 0) = 11 G
(yt/it-1, 0)
t=1
L'estimateur est alors défini comme le vecteur
617-, = (00,..., 0p) qui maximise le logarithme de cette
fonction vraisemblance :
BT = arg max log r (yi, y2, - - - , yT, 0)
3.2.2 Estimation des parametres du modele GARCH
Nous avions observé que l'estimation par MV d'un modele
ARMA est rendue plus dif ficile que celle d'un processus autorégressif
pur, puisque
le processus d'innovation n'est pas directement
observé. Le meme phénomène survient lorsqu'on tente de
maximiser la vraisemblance d'un processus GARCH. En effet, la vraisemblance
associée a Y conditionnellement au passé s'écrit
exp (Yt rat (0))2)
G 0) = 1
ht 2h2t
mais cette fois, la variance 14 suit un processus ARMA et
dépend donc des valeurs passée de la variance conditionnelle hi,
, hT. Ces valeurs n'étant pas observé en pratique, la
maximisation on directe de la vraisemblance est rendue impossible. En pratique,
on estime successivement les
valeurs de hi, , 14, avant de calculer la
vraisemblance. Ainsi, pour un
vecteur 0° = ;c;, 1;..., Q)
fixé de paramètres, on calcul récur-
sivement
|
11,82 =co #177;
|
X p
i=i
|
~~ i Y 2 si +
|
X q
j=1
|
^h2
js~j
|
avec la convention Y = 0 et h? = 0 si i < 0. On remplace donc
la fonction de vraisemblance par
exp (Yt rat (0))2)
G 0°) = 1
htV'2ir 2h?
et la fonction de vraisemblance totale est
r (Yi, y2) YT, °°) = 11 L
(yt~It~1;0°)
t=1
Cette fonction de vraisemblance peut etre calculée pour
différentes valeurs du vecteur 0° et sa maximisatin
livre l'estimateur de MV .
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