Analyse des séries chronologiques. les modèles ARCH et GARCH

2.2 Les modêles ARCH généralisées

Pour de nombreuses applications, l'introduction d'un grand nombre de retards p dans l'équation de la variance conditionnelle du modèle ARCH (p) est nécessaire pour tenir compte de la longue mémoire de la volatilité qui caractérise certaines séries monétaires et financières. Ce nombre important de paramètres peut conduire a la violation de la contrainte de non-négativité de la variance et poser des problèmes d'estimations. Dans cette perspective, une extension importante, le modèle autorégressif conditionnellement hétéroscédastique généralisé (GARCH), est suggérée par Bollerslev [1986]. Cette approche exige moins de paramètres a estimer que la formulation ARCH (p) pour modéliser les phénomènes de persistance des chocs. La variance conditionnelle de la variable étudiée est déterminée par le carré des p termes d'erreur passés et des q variances conditionnelles retardées.

2.2.1 Modèle GARCH(p, q)

On continue de considérer un modèle autorégressif exprimé sous la forme

[ ]

X = E _{Xt/Xt_1+} €t avec _t est un bruit blanc faible et satisfaisant la

propriété E ["t/Zt_i] = 0.

Ces modèles ont été introduits avec une dynamique autorégressive,

"t = ~ h (2.7)

l'équation de la variance conditionnelle d'un processus GARCH s'écrit :

ht =

u u tc v +

X p i=1

çbiE2 t_i +

X q j=1

jh2 t--j

on ij_t .,A/ (0, cr²), et avec les conditions c > 0, çb > 0, pour i = 1,

2,..., p et j > 0, pour j = 1, 2,..., q satisfaisante pour garentir la posivité de h2 t .

Definition 2.2.1 1) Drost et Nijman [1993] ont convenu d'appeler GARCH faible weak GARCH .> tout bruit blanc faible Et si

i) E ("t/Zt_1) = 0, pour t E Z.

Cette propriété appelée différence de martingale (tout au moins par rapport a la filtration naturelle).

ii) Il existe des constantes c, _i, i = 1,2,... ,p et _j, j = 1,2,... q telles que :

h t = V ("t/Zt_1) = c + X p çbiE2 _{t_i} + X q jh2 _tj, pour t E Z.

i=1 j=1

2) Lorsque le processus d'innovation Vt et E² est lui même seulement supposé être un bruit blanc faible, alors qu'ils appellent GARCH semi-fort «semi-strong GARCH .> le même processus €t lorsqu'il s'agit d'une différence de martingale avec un processus d'innovation Vt qui est lui même une différence de martingale. Les processus GARCH semi-forts ainsi définis coIncident bien avec l'idée initiale de Engle et Bollerslev puisqu'il est clair réciproquement que si l'on suppose que Vt est une différence de martingale, on en déduit que :

Vt = 2 t - h2 _t

oh h _t est bien la variance de €t conditionnelle a l'information passée.

Definition 2.2.2 On dit que le processus GARCH (p, q) fort dans le cas
d'un GARCH semi-fort tel que l'innovation standardisée Vt = €t/h soit
un bruit blanc fort (suite de variables indépendantes et de même loi) et

_t ' JV (0, 1).

En fait, la popularité des processus GARCH faibles dans la littérature récente, à la suite des articles fondateurs de Drost et Nijman [1993], Drost et Werker [1996] et Nijman et Sentana [1996], s'analyse sans aucun doute comme le résultat d'une prise de conscience d'un risque de modèle <<GARCH semi-fort>> d'autant plus manifeste qu'il est aisé de montrer que la classe des processus GARCH semi-forts n'est robuste vis à vis d'aucun type d'agrégation. Plus précisément, ils ont d'abord montré que si des rendements quotidiens sont conformes à un modèle GARCH semi-fort, les mêmes rendements considérés sur un horizon plus long (par exemple hebdomadaire) ne peuvent pas l'être. Autrement dit, la classe des processus GARCH semi-forts n'est pas robuste vis-à-vis de l'agrégation temporelle et c'est pourquoi ils ont proposé de l'étendre à tous les processus qu'ils appellent GARCH faibles pour récupérer cette robustesse. De façon générale, dans la mesure on il n'existe aucune norme d'agrégation, ni temporelle ni contemporaine, qui s'impose à l'utilisateur, le concept de <<GARCH faible >> peut apparaitre comme la panacée pour évacuer un risque de modèle trop patent.

Pour motiver l'introduction des processus GARCH, on peut réécrire (2.7) à l'aides des opérateurs 1' (.) et W (.). Dans ce nouveau contexte, ces opérateurs sont définis par

~ (L) = ~ L + b2L + ~ ~ ~ + ~_pL^p

et

W (L) = 1L + 2L² + ~ ~ ~ + _qL^q. On peut donc écrire

q"t = _t + (L)"2 _t + W (L) h²_t

on L est l'opérateur de retard.

On a donc,

h2 t = c + '(L)s2 _t + W(L)h2 _t . (2.8)

Si toutes les racines de 1 -- (L) sont en dehors du cercle unité, on a :

2

c 0 (L) 2

h_t +

^t 1 - (L) 1 -- (L)Et .

Si la fonction rationnelle de l'opérateur de retard est développé en série, propriété (3), on se trouve :

00

h2 t = c + i=i 'i"2 ti

avec c^* > 0 et (pi > 0, pour i = 1, 2, ....

Cette dernière relation montre qu'un processus GARCH (p, q) est un processus ARCH d'ordre infini. On voit donc que les processus GARCH peuvent formellement représenter de façon plus parcimonieuse des processus ARCH contenant un nombre élevé de paramètres.

Dans la suit, on montre que le modèle GARCH peut être représenté comme une modèle ARMA dans les erreurs au carré. Posant que vt = E? -- h4 avec E (vt) = 0, E (vt v₅) = 0 pour t =6 s et E[vt/It_i] = E [E? -- h_t²/1^-t_1] = 0. Il satisfait la condition de bruit blanc, on peut écrire E? = h2 t + vt, cela donne :

2 Et = c +		X p i=i		i"2 ti +	X q J=1	~"2 t~i^- vt_i) + vt. j
Il s'ensuit que, 2 Et = c +	Xn i=i		(Oz + z) -				X q J=1	jvt~j + vt, t 2 Z

avec n = max (p, q).

Proprietes des processus GARCH

Les propriétés théoriques des processus GARCH se déduisent de la

même façon que nous avon développé les propriétés des processus ARCH. Propriete 2.6 Le processus Et est un bruit blanc si E (E?) < oo.

On a

E(Et) = E [E(Et/It_i)] = 0

et

cov(Et, Et-k) = E(EtEt-k) = E(Et_kE(Et/it_i)) = 0, k > 0.

Lien avec les propriétés des séries financières : non autocorrélation de €t (quelle que soit la spécification de h2 t ), autocorrélation de €² (ici ARMA).

Le calcul de la variance dans le cas général n'est pas direct. Bollerslev a montré que, dans le cas général, la variance du processus reste finie si la somme des paramètres est plus petite que 1.

Propriété 2.7 Une condition nécessaire de l'existence de la variance d'un processus GARCH (p, q) est

~ (1) + W(1) = X p ~i + X q 3 < 1 (2.9)

i=1 j=1

Si cette condition vérifie avec les contraintes de non négativité donnée ci-dessus, elle est également suffisante. Donc le processus GARCH est faiblement stationnaire ou stationnaire au seconde ordre.

Dans le cas on (2.9) est saturée, c'est a dire que Pp i=1 cb + Pq j-_i ., = 1, on dira alors que le processus GARCH est intégré, et on parlera de processus IGARCH.

Propriété 2.8 Le processus €² d'une représentation GARCH (p, q) peut être représenté sous la forme d'un processus ARMA (max (p, q), q) définie dans une innovation vt = €2 t - h2 t , tel que :

€2 t = c + _Xn (çb_i + i)€2 _{t_i} - X q jvt_3 + vt (2.10)

i=1 j=1

avec la conversion çb = 0 si i > p et j = 0 si j > q.

Cette observation amène deux conditions immédiates :

1. Bien que les valeurs €t d'un processus GARCH soient non corrélées, il existe une dépendances non linéaires entre les observations, puisque que le carré des observations se comporte formellement comme un processus ARMA;

2. Pour identifier le nombre des paramètres p et q d'un processus €t ~ GARCH(p, q), on peut utiliser les fonctions d'autocorrélation et d'autocorrélation partielle du processus €² suivant la même procédure utilisée pour trouver le nombre de paramètres d'un processus ARMA.

Dans la section suivante, on définit un cas particulier de ce processus, processus GARCH (1, 1), et ses propriétés.