Analyse des séries chronologiques. les modèles ARCH et GARCH

2.1.2 Propriétés des processus ARCH

Propriété 2.1 On peut noter que pour tout s > 1 : E (€t/It~s) = 0, cela signifie que le processus ARCH est orthogonale a tout passé.

Preuve. Pour demontrer cela on utilise la propriete des esperances iterees. En effet, on montre

E [Et/It-₈] = E [E /It-₅]

= E [0/1^-t_₈]

= 0

Propriete 2.2 La variance conditionnelle du processus Et, ARCH (1) , definit par l'equation (2.5) est non constante dans le temps et verifie :

V [Et/it,' = C

1 ~ s ~ 1 + ^s 1"2 ts; 8t: 1 -- 01

C'est la propriete centrale des processus ARCH : le processus Et a une variance conditionnelle depend du temps. On a l'idee que la liaison temporelle passe par l'intermediaire de l'equation autoregressif definie sur le carre du processus (2.6).

Preuve. On sait que E [Et/It__s] = 0 des lors, V [Et/it-s] = E [4/¹t-8] : Considerons le processus Et definie par la relation (2.6) on vt est un bruit blanc faible. Par iteration successive, on a :

E? = c + 01 + 2 1 +
·
·
· + s1 ~ + vt + ~1vt~1

1

+0204_2 + ~ ~ ~ +0,91 -174_5+1 +os1"2t-8

En considerant l'esperance conditionnelle de chacun de ces nombre, il vient :

_Xs ~ 1

E "2 t Its ~ = c 1 ~ s ~

1 + ^j 1E [vt~j~It~s]

1 ~ ₁

i=o

~ :

+^s 1E "2 tsIts

Puisque par definition du bruit blanc, on a

E[vt_i/lt,]= 0, Vj = 0, 1, , s-1, et par definition E [Et²_,/it-8] =

Et_,, on obtient ainsi la formule de la variance

Lorsque s tend vers l'infinie, ces variance conditionnelle converge vers la variance non conditionnelle, et l'on retrouve alors la formule :

V ["t] = uim

8--+oo

V [€t/7t-s]

_L L1 ~ qs ] ]

1

= uim + q^s 1"2 ts

s!1 1 - qi

C

=

1 - q1 .

Propriété 2.3 Les autocovariances conditionnelles du processus €t, ARCH (1), définit par l'équation (2.5) sont nulle

Cov ["t_; Et+k/1t_s] = 0.

Le processus est donc un processus sans mémoire.
Preuve. Cette propriété s'obtient de la façon suivante :

Cov ["t_; Et+k/1t_s] = E [EtEt+k/It_s] = E _["t/It-s] E [Et+k/It_s]

= E ["t"t+k/It_8]

= E [E ("t"t+k/IJt+k_1) /Zt-8] = E [€tE ("t+k/Zt+k_1) /Zt-8] = E ["t 0/Zt_8]

= 0

car _€t+k est connu en t + k - 1, on a donc

E ["t 0/Zt_8] = 0 ~

L'absence de corrélations entre les valeurs d'un processus ARCH est une caractéristique très importante de cette famille de modèle, qui les rend utiles pour modéliser certaines séries financières¹, comme le font remarquer Bera et Higgins [1993].

Propriété 2.4 La variance marginale du processus Et existe si et seulement si C > 0 et 0 < q < 1, d'oit le processus _t est stationnaire au seconde ordre.

¹Remarquons néanmoins que l'absence de corrélations entre les valeurs d'un processus ARCH n'implique pas que ces valeurs soient indépendantes. Comme nous le verrons

plus loin, des corrélations non linéaires peuvent en général exister entre les observations. Ce phénomène est possible puisque la distribution du processus n'est pas gaussienne mais seulement conditionnellement gaussien.

v u u ht = tc +

X p i=i

0i"2 t_i

En effet, il convient de vérifier notamment que V [4] et V [Et] sont définies de façons positive. Sous la condition c > 0 et 0 < 01 < 1, la variance marginale de Et existe et elle est constante dans le temps, donc le processus Et est stationnaire au seconde ordre.

On peut en outre établir les moment conditionnelle et non conditionnelle d'ordre quatre existe du processus Et.

Propriété 2.5 Le moment conditionnelle centre d'ordre quatre du processus Et verifie

E [4/1^-t_s] = 3 (c + 014_0²

Sous l'hypothese 30² 1< 1, le moment non conditionnelle centre d'ordre quatre du processus Et est egale à

E [Et] = 3 [c2 201c2 + 021E [Et2_1]]

1-- 01

= 3

c2 (¹ + 01)

(1 -- 30T) (1 -- 01)

La kurtosis (ou le coefficient d'applatissement de Ficher) non conditionnelle associee au processus ARCH(1) est

Ku =	E [E:]	= 3 I 1 --^-1 > 3 L1 -301JJ
	E^2 [4]

Sous l'hypothése de positivité du paramétre, 0i, la kurtosis non conditionnelle est toujours positive a celle de la loi normale : elle traduit l'aspect leptokurtique de la distribution du processus Et. C'est donc la deuxieme raison avec la variance conditionnelle dépendante du temps pour laquelle les processus ARCH sont trés utilisé pour représenter les séries financieres ou les résidus de modele linéaire définis sur série financiere.

Tout ces propriétés peuvent etre généralisées du cas d'un processus ARCH(p) .

Modèle ARCH(p)

Définition 2.1.2 Un processus Et satisfait une representation ARCH(p) si

Et = ht (2.7)

avec

et ofi ij_t désigne un bruit blanc faible, tel que E [_t] = 0 et

V [_t] = o² ~.

Les caractéristiques distinguée de ce modèle n'est pas seulement que la variance conditionnelle est une fonction de temps mais aussi c'est la forme particulière est spécifier. Les épisodes de la volatilité sont généralement caractérisés comme les chocs pour la variance dépendante. Dans le modèle de régression, un choc grave est présenté par un grand écart type, d'oñ présenter par une grande valeur positive ou négative de €t. Dans les modèles ARCH, la variance de l'erreur courante, conditionnelle sur l'erreur réalisée "t_1est un fonction croissante de l'ampleur des erreurs retardées sans tenir compte leur signe. p détermine la duré de temps avec laquelle les chocs persistent a faire conditionner la variance des erreurs.

Exemple 2.1.4 Ce phénoméne est illustré a la figure (2.5) oh des processus ARCH (p) sont simulés pour différentes valeurs de p :

Figure 2.5 : Simulation de processus ARCH pour diff^~erente
retards.

Exemple 2.1.5 Donc, la volatilité a la date t est alors une fonction des carrées des écarts a la moyenne observés dans le passé proche. Si les coefficients P_i sont tous positives (assez grands), il y a un persistance des niveaux de volatilité : on observe des périodes de forte volatilité suivies des périodes de faible volatilité.

Plus généralement, les moments centrés d'ordre impaire, s'ils existent sont nulle, par symétrie. En supposant que le processus demeure infiniment loin dans le passé avec les 2r premiers moments finis, les moments d'ordre 2r existe si et seulement si (Engle [1982])

_Pr

1

_Yr
i=1

(2i - 1) < 1.

Modèle avec erreur ARCH

On considére dorénavant non plus un processus ARCH pour modéliser directement la série financière, mais les résidus d'un modèle linéaire. Prenant l'exemple d'un modèle linéaire autorégressif avec résidus de type ARCH (p).

On procéde la définition générale d'un processus autorégressif et d'un processus autorégressif linéaire <<Gouriéroux [1992]>> .

Definition 2.1.3 1) Un processus stochastique X est un processus autorégressif, AR, d'ordre k si et seulement si :

[ ]

X = E Xt/Xt~i + "t

= E [Xt/Xt_1, Xt_2,..., Xt_k] + €t

2) Un processus stochastique Xt est un processus autorégressif linéaire, AR, d'ordre k si et seulement si :

[ ]

X = EL _Xt/Xt~1+ Et

= EL [Xt/Xt_1, Xt_2,..., Xt_k] + "t

ofi EL (.) désigne l'espérance linéaire, avec € est un bruit blanc faible, tel que

E [€t "₅] = 0, si t =6 s

et

E ["t] = 0

satisfaisant la condition

E = 0.

On suppose que ce résidu admet un représentation autorégressif de type ARCH (p)

Et = pit ht

avec

,\Iht = c +

X p i=i

0t E?-t

et oft pi_t désigne un bruit blanc faible.

On a un modele qui décrit a la fois l'évolution de l'espérance conditionnelle et la variance conditionnelle du processus Xt dans le temps. Envisageons le cas le plus simple d'un processus de type AR (1) avec erreur ARCH (1)

Xt = S + aXt_i #177; Et, lad < 1 Et = \/c + 014-1

Dans ce cas les résidus satisfont les principales propriétés étudiées précédemment² :

i) le processus (Et) est orthogonal aux valeurs passées, pour quelque soit le retard

E [Et/It_₈] = 0, pour tout s > 1,

la variance conditionnelle

V [Et/it-i] = c + 014-i et suit un processus ARCH (1)

2 2

Et = c 0lEt-1 #177; pit.

ii) la propriété d'orthogonalité implique que les corrélations conditionnelles sont nulle : coy [Et, Et+k/it_8] = 0.

Il y a donc une absence de corrélation entre les valeurs présentes et futures du processus, quels que soient les retards s et k. Mais si la variance

²Les propriétés de processus d'innovation vt
·

conditionnelle de Et n'est pas constante, la variance non conditionnelle est constante.

On peut, en outre, en déduire un certain nombre de conclusion quant au processus Xt lui même. On peut montrer tout d'abord que l'espérance conditionnelle de Xt vérifie :

E [Xt/ Xt_s] = S + a E [Xt_i/ Xt_s] ;

ce qui montre que les prévisions non linéaires de Xt s'obtient comme les prévisions linéaires d'un processus AR (1). Plus généralement

Xt = ~ 1 ~ ~s + ~^sXt~s + "t + ~"t1 + ~ ~ ~ + ~^s1"ts+1

1 ~ ~

En prenant l'espérance conditionnelle de deux cotés, on obtient

1

E [Xt/ Xt_s ] = -- + a^sXt-.9
·

1 --a

De même façon, on peut montrer que la variance conditionnelle de Xt dépend du temps. En effet, on montre qu'elle dépend du processus EL de la façon suivante.

Propriete 2.6 La variance conditionnelle du processus AR (1) avec erreur ARCH (1), Xt, s'ecrit

[1

1 01_

v [xt/xt_d 1

= -- 6. 01 1 -- a2 a25 01 01 -- a2a28 +0

~

s 1 ~ ~2s ₂

2 Et^-8

01 -- a

Ainsi, la variance conditionnelle d'un erreur de prevision a l'horizon 1, s'ecrit

V [Xt/ Xt_s] = S + 014,

Preuve.

v [xt/xt_s ] = V [6

a^s-8+1/Xt-8

1 -- a + as Xt-8 + Et +

= V [Et/Et-9] + a²V [Et-i/Et_s] _a2(5-1)T ₇

V [Et-5#177;1/fit-s]

1 -- a^s

=

_Xs _ 1
J=0

~

1- 01

[ (1 1 _-- a2 8) ₀₁ (₀₁ __ _aa2₂8 #177;

=

-- a25 2

1

E.

-- _a2 .-8

1 [ ₀

₁

"

~ 1 ~ sj

_~2j 1 + sj

₁ "2 _ts

1 -- 01

En conclusion, si l'on désire prévoir le processus X dans le cas d'erreur ARCH (1), l'erreur de prévision a une horizon d'une période admet une

[ ]

variance V _{Xt/Xt_5qui} varie dans le temps en fonction de la valeur de

[ ]

"2 t_s; autrement dit V _{Xt/Xt_5=} I (st_S).

Exemple 2.1.6 Le graphe ci-dessous correspond a la simulation d'un tel processus, avec a droite son corrélogramme,

Figure 2.6 : Simulation d'un processus Y et son
corr^~elogramme.

Le corrélogramme partial suggére de tester un modéle autorégressif d'ordre 1 sur X . Toutefois, si l'on étudie la distribution des résidus du modéle X = 8 + aXt_1 + €t, l'hypothêse de normalité est clairement rejetée

Figure 2.7 : Le test de Jarque-Bera.

Le corrélogramme ne permet pas de rejeter l'hypothêse de bruit blanc, mais le corrélogramme ne permet de ne mesurer qu'une dépendance linéaire

entre € et _{"t_1.} L'idée peut alors être de tester le caractére ARCH des résidus obtenus, pour expliquer cette forte kurtosis,

Figure 2.8 : Le test ARCH.

Ce test est alors clairement significatif, et l'on valide l'hypothêse de modêle ARCH pour les résidus. Le modêle est

alors

JX = 0:79404 Xt_1 + "t oh t = _t 1:335464 + 0:42691"2 t_1 et oh (_t) est un bruit blanc gaussien.