I.15. Structure de base des filtres numériques
du type RIF
La somme de convolution peut être utilisée, en
principe, pour mettre en application un filtre numérique avec une
réponse impulsionnelle connue, et la réalisation comporte
l'addition, la multiplication et le retard, qui sont des opérations
basiques. Pour un système LTI avec une réponse impulsionnelle
finie (RIF), la relation d'entrée-sortie implique une somme de produits
finie, et une exécution directe basée sur cette équation
est tout à fait pratique. [14]
II.7.1 Forme directe
X (n- X (n- X (n-
)
a 1 a 2 a3 a
Y(n)
Figure II.6 - Structure directe
Cette structure nécessite N-1 cases
mémoire et a une complexité de calcul de N multiplications et
N- 1 additions par échantillons de sortie.
La transposition de la structure de forme directe est
présentée sur la figure II.7
Y( )
a
a
a
a
X(n)
Figure II.7- Structure transposée
L'implantation d'un filtre numérique dont le
comportement est décrit par l'équation aux différences
(II.25) se fait en implantant les éléments de
calculs décrits par cette équation. Pour ce faire nous avons
besoin d'une chaîne de N-1 registres qui permetent de
conserver en mémoire les N-1 valeurs de x(n)
précédent à l'instant courant n. Cela est
réalisé a l'aide d'une cascade de case mémoire (figure
II.8. a).
(a) Chaîne de retards
X (n- X (n- X (n-
)
a
a 0 a
(b) Produit terme à terme
)
a 0 a 1 a 2 a
X (ni) X (n-2) X (n-N+1)
Y(n)
(c) Somme des produit terme à
terme
Figure II.8 - Étape de réalisation d'un
filtre à réponse impulsionnelle finie
Chaque case mémoire est représentée par un
symbole qui est la transformée en Z
d'un filtre ayant comme réponse impulsionnelle
ä (n-1) c'est a dire un filtre correspondant a un retard
pur d'une période d'échantillonnage.
Il faut ensuite réaliser le produit scalaire entre la
suite de coefficients et la suite de
donnée contenue dans la chaîne de retards x(n). Cela
se fait en deux étapes, on effectue les
produits terme à terme
entre la suite de coefficients et la suite de donnée : pour
échantillon x*n+ en entrée, l'ensemble de ces
opérations est réalisé afin de fournir un nouvel
échantillon y[n] en sortie.
Il est également possible d'établir d'autres
structures pour simplifier le calcul et minimiser sa durée en limitant
le nombre d'opérations.
II.7.2 Structure symétrique
Les filtres FIR sont souvent caractérisés par une
phase linéaire, propriété qui se traduit
par une
symétrie ou une antisymétrie des coefficients qu'il est possible
d'exploiter pour
réduire le coût en nombre d'opérations.
Cette propriété s'exprime par :
Le produit de convolution
s'écrit alors dans le cas d'un nombre
pair :
Ce qui conduit à la structure représentée
ci-dessous (figure II.8) :
X(n)
a
~
a
~
a ~ 2
Y(n) Figure II.9- Structure symétrique
pour un nombre pair de coefficients.
Cette implantation nécessite toujours cases mémoire
mais la complexité de calcul est réduite à multiplications
et N additions. De plus la longueur du chemin critique est
divisée par 2. Le gain est donc proportionnel à la
longueur du filtre qui est souvent importante dans le cas des filtres FIR.
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