L'efficience des marchés financiers: Cas du MATIF

II.3.2 Efficience et modèle de valorisation de Whaley

Tester l'existence d'excès de rendement sur le marché des contrats d'options sur future permet d'évaluer l'efficience de ce marché. C'est la démarche que nous allons adopter en analysant les opportunités de profit à l'aide du modèle de valorisation de Barone-Adesy/Whaley. Cependant, le rejet de l'hypothèse d'absence d'excès de rendement peut signifier :

· le marché est inefficient,

· le modèle est inadapté à valoriser ce type d'options,

· marché non efficient et modèle inadéquat.

Cette première partie de notre étude se présente de la manière suivante :

· présentation du modèle de valorisation retenu,

· méthodologie du test d'efficience,

· données,

· résultats empiriques et conclusion.

En ce qui concerne la deuxième partie, elle porte sur l'efficience proprement dite.

II.3.2.1. Modèle de valorisation des options sur future

Sur la place de Paris, le modèle de Black ^(97(*)) est le plus couramment utilisé pour évaluer une option sur future. Toutefois, ce modèle est inadapté aux options de type américain et les praticiens utilisent une méthode consistant à choisir comme valeur le maximum de la valeur intrinsèque de l'option et de la valeur fournie par le modèle de Black. Certains financiers tels que Whaley R.E. ^(98(*)) proposent une extension du modèle de Black au cas des options de type américain.

A. Le modèle de Black

Ce modèle permet d'évaluer une option sur future de type européen. Les hypothèses sous-jacentes au modèle sont :

- absence des coûts de transaction ;

- possibilité de vente à découvert ;

- pas de détachement de dividende ;

- taux d'intérêt constant ;

- les variations relatives des prix futures suivent un processus stochastique de Gauss Wiener avec :

F = cours du future

u = rendement anticipé

§ = Volatilité anticipée

t = temps

Z = processus aléatoire de Wiener

D F/F = u dt + § dZ

En utilisant le lemme d'Ito et en constituant un portefeuille comprenant l'option et une certaine proportion de contrats future, Black évalue la prime d'un call ou d'un put de type européen en utilisant les conditions limites. Les niveaux des primes sont donnés par :

C (F) = exp (-r.t). (FN (d₁) - X. N (d₂))

P (F) = exp (-r.t). (-F N (-d₁) + X. N (-d₂))

Avec

C (F) = prime du call

P (F) = prime du put

r = taux instantané sans risque

X = prix d'exercice de l'option

N (.) = fonction de répartition de la loi normale univariée

t = maturité de l'option

« d₁ (F) = [Ln (F/X) + 0,5 §² . t ]; d₂ = d1 - § .t^0,5 »

§ t ^0,5

B. Le modèle de Macmillan / Barone- Adesi et Whaley

Le modèle prend en considération la possibilité d'exercer à tout moment une option de type américain. Intuitivement, une option américaine comporte une option d'exercice prématuré sur une option de type européen, sa valeur est donc plus importante. Barone - Adesi et Whaley ^(99(*)) utilisent une approximation quadratique de la méthode de Macmillan ^(100(*)) pour évaluer une option américaine sur future. Les primes des options sont données par l'évaluation semi analytique suivante :

C (F) + A₂ (F/F*) q₂ si F< F*

C_a (F)=

F*-X si F>F*

P (F) + A1 (F/F**)^q1 si F > F**

Pa(F)=

- F**+ X si F < F*

A₂= (F/q2). {1-exp (-r.t).N [d1 (F)]}

q₂= [1+ (1+4k) ^0,5]/2

A1=- (F**/q1). {1-exp (-r.t).N [-d1 (F**)]}

q1= [1-(1+4k) ^0,5]/2

k= 2r/ {§ ².[1-exp (-r.t)]}

Avec :

Ca (F) = Call américain

C (F) = call européen (modèle de Black)

Pa (F) = Put américain

P (F) = Put européen (modèle de Black)

F* et F** vérifient respectivement les équations suivantes :

F* = C(F) +A₂+X

F** = P(F) - P(F)-A₁-X

Les primes d'exercice prématuré sont approximées par les termes :

* A₂.(F*/F)^q2 * A₁ (F**/F)^q1

Pour une option de vente Pour une option de vente

F* et F** représentent des niveaux de prix où les opérateurs sont indifférents à exercer le droit qu'ils détiennent ou garder les options en portefeuille. Ce modèle présente des limites d'utilisation à savoir :

· la volatilité est supposée constante, mais les modèles de valorisation d'option avec volatilité endogène ou volatilité variable dépendant de la duration sont difficilement opérationnels, cette hypothèse n'est donc pas gênante dans le sens où aucun modèle ne propose d'alternative analytique satisfaisante ;

· le taux d'intérêt sans risque est supposé constant, comme les options notionnels portent sur un contrat future sur taux d'intérêt long terme, cette hypothèse est gênante ; en effet, cette hypothèse induit une courbe de taux plate et stable dans le temps, ce qui n'est pas du tout vérifié dans la réalité.

Ici aussi, on ne propose pas d'alternative au modèle de Whaley. Dans notre étude d'efficience, on retiendra le modèle de Whaley sachant que certaines hypothèses limitent son utilisation ^(101(*)).

Afin de comparer le taux sans risque aux rendements de portefeuille constitués d'options, il est nécessaire de se couvrir via le sous-jacent. Ainsi, des positions d'options neutres vis-à-vis du risque de fluctuation des prix du contrat ferme sont constituées. Ces stratégies dépendent du prix de l'option.

Si l'option est sous évaluée par rapport à la valeur donnée par le modèle, elle est achetée et une position simultanée sur le contrat ferme sous-jacent est prise.

Si l'option est surévaluée par rapport aux valeurs obtenues par le modèle, elle est vendue et une position simultanée sur le contrat ferme sous-jacent est prise.

La couverture de la position d'options est évaluée à partir de la dérivée partielle du premier ordre (dC_a/dF pour le call et dP_a/dF pour le put) de la prime par rapport au prix du sous-jacent. Ce facteur permet donc de mesurer l'impact d'une variation du prix du contrat ferme sur la prime. Ainsi, u portefeuille constitué de l'achat d'un call (respectivement un put) sous-évalué et de la vente de dCa/dF (respectivement dPa/dF) contrat ferme est sans risque par rapport aux fluctuations des prix de l'actif sous-jacent. Le taux de rendement de ce portefeuille sera comparé au taux sans risque sur la même période.^(102(*))

Tout au long de chaque jour de bourse retenu dans notre échantillon, les options sont évaluées à partir du modèle précédent. Suivant que le prix effectif est sous estimé ou surestimé par le marché (relativement au modèle), quatre types de portefeuille sont constitués.

Tableau 5 : Evaluation des options compris dans 4 portefeuilles

Nature du prix de l'option	Position option	Position future
Call sous évalué Call surévalué Put sous évalué Put surévalué	Achat un contrat Vente un contrat Achat un contrat Vente un contrat	Vente de dCa/dF contrats Achat de dCa/dF contrats Vente de dPa/dF contrats Achat de dPa/dF contrats

Source : MATIF S.A.

* ⁹⁷ Idem, p 220.

* ⁹⁸ G Barone-Adesi. et R.E Whaley, Efficient Analytic approximation of american option values, June, 2000, pp 301-320

* ⁹⁹ G. Barone Adesi et R.E Whaley, op.cit, p 320.

* ¹⁰⁰ L.W  Macmillan: Analytic approximation for the american put option Advances in futures and options

research Vol. 1, 2001, pp 119-139

* ¹⁰¹ C.BALL et W. TOROUS, «Bond price dynamics and options», in journal of financial and quantitative analysis, December, 2001, pp 517-532.

* ¹⁰² R.E. WHALEY, Valuation of American futures options: theory and empiral tests, Paris, éd. Le Seuil, 2001, vol XLI, n°1, pp. 127-150.