11.3.3 Notations
Rappelons que la banque perçoit à chaque date
t E {1, 2, ... , h} un flux I(t)
au titre de ses placements passés, qui peut être divisé
entre remboursement de capital K(t) et tombée de flux
d'intérêts I+(t) avec I(t) =
K(t) + I+(t). À chaque date t
E {0, 1, ... , h - 1}, notons
Ädisp tle montant total de
liquidités dont la banque dispose à la date t pour
investir sur les
marchés. Il est a priori différent
de l'encours Ät que nous avons modélisé, dans la
mesure où la banque en a déjà investi une partie dans le
passé. Ainsi, Ät est le volume d'encours en t en
terme de passif (autrement dit, en terme de dette de l'établissement
envers ses clients) alors que Ädisp
t est le montant de ce passif que la banque peut
effectivement mobiliser et placer en t. Avec les notations
déjà introduites, il est immédiat que
Ädisp t= K(t) +
(Ät ? Ät_1)
K(t) est la partie du capital précédemment
investie que l'on récupère en t tandis que (Ät
? Ät_1) est la variation d'encours due à l'inflation
et aux mouvements des clients. En particulier, si la tombée en capital
est faible et si l'encours clientèle diminue entre les dates t
- 1 et t, on se retrouve dans une situation dans laquelle
Ädisp
t <0. Nous allons revenir sur ce point. y
E[0, 1] est la proportion de Ät que la banque
choisit d'avoir placé en t dans le support court-terme.
Enfin, nous définissons, pour tE{1, ... ,
h}, les variables ni(t)ER qui décrivent la
quantité d'obligations d'échéance i E {60,
61, ... , h + 59} dans le portefeuille de l'établissement
au terme de l'investissement de la date t - 1.
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À titre d'exemple, imaginons que la banque prête,
à chaque date, la totalité de l'encours disponible pour le mois
suivant (rémunération EURIBOR 1 mois) dans une stratégie
de «rolling» continu, afin de disposer à chaque date de la
totalité des liquidités déposées sur leurs comptes
par ses clients. Nous avons dans ces conditions y=1 et pour tout
tE{0, 1,... ,h - 1}
?
????
????
Ädisp t = Ät K(t + 1) =
Ät
IRM(t + 1) = I+(t
+ 1) = 12 L(t) = Ät (ZC(t,t
+ 1) ~1
On remarque donc que même dans ce cas
«simple», la marge nette d'intérêts est instable. Elle
est en effet exposée à la fois à la volatilité des
taux et à la volatilité de l'encours des CCP.
11.3.4 L'investissement sur les marchés
Supposons que la banque ait choisi la proportion y
pour régir ses investissements sur les marchés.
À la date initiale t = 0, la banque dispose de
Ädisp
0 = Ä0. Elle investit alors
I00 = yÄ0 en zéros-coupons
d'échéance un mois et I10 = (1 -
y)Ä0 en obligations à 5 ans, qui lui rapporteront
individuellement des coupons mensuels fixes de x0 dépendant de
la courbe des taux actuelle.
Plaçons-nous à présent à une date
intermédiaire tE{1,... , h - 1}. La banque
perçoit déjà le flux relatif au prêt court-terme
qu'elle a consenti à la date précédente. En t-1,
nous savons
ZC(t - 1, t)
qu'elle a investi sur ce support un montant
yÄt-1, correspondant à une
quantité yÄt-1
de zéros-coupons de maturité 1 mois. Elle
perçoit donc un flux yÄt-1 en t
qui se
ZC(t - 1, t)
partage entre remboursement de capital à hauteur de
yÄt-1 et tombée
d'intérêts à hauteur de yÄt-1
(ZC(tl 1, t) - 11. Par ailleurs, la banque dispose
de ni(t) obligations d'échéance
i E {60, 61, ... , h + 59}
dans/son portefeuille, à cet instant. Ce portefeuille
d'obligations lui ramène en t un remboursement en capital de
nt(t) (si t>60) et une tombée de flux
d'intérêts
|
(dûe aux détachements de coupons) de
|
t+59X
k=max(t,60)
|
x(k-60)nk(t).
|
Au final, on peut donc écrire provisoirement
????????
?
???????? K(t) = nt(t) +
yÄt-1
Ädisp t= K(t) +
(Ät - Ät-1) = Ät - (1 -
y)Ät-1 + nt(t)
IRMprovisoire(t) =
yÄt-1 ZC(t - 1, t) - 1 +
x(k-60)nk(t)
~ 1 ~
t+59X
k=max(t,60)
Il se pose ensuite la question du nouvel investissement à
réaliser.
Si Ädisp
t > yÄt, alors la banque
investit en t un montant I0t =
yÄt en zéros-coupons
yÄt
d'échéance un mois, correspondant à une
quantité ZC(t, t + 1) de ces titres. Elle investit
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ensuite le montant résiduel
I1t = Odisp
t - I0t en
obligations d'échéance t + 60, reversant des coupons
fixes xt. Elle achète donc une quantité
I1t de ces obligations. Le portefeuille
d'obligations détenues s'actualise alors selon nt(t
+1)=0, nt+60(t
+1)=I1t et ni(t +
1)=ni(t) pour i O{t, t + 60}. Finalement
t+59
IRM(t) =
IRMprovisoire(t) = yOt-1 1 1 +
x(k-60)nk(t)
ZC(t - 1, t)
k=max(t,60)
À l'inverse, si Odisp
t < yOt, la banque est en déficit de
liquidités puisqu'elle n'a pas
récupéré suffisamment en capital pour
s'en tenir à sa stratégie d'investissement qui impose de
prêter à chaque date yOt pour le mois suivant.
L'établissement est ainsi dans l'obligation de vendre une partie de ses
actifs longs pour mobiliser ces liquidités. Afin de ne pas compliquer
inutilement la procédure, nous supposerons que la banque vend ses
obligations par échéances croissantes jusqu'à avoir
recouvré le montant nécessaire en terme de capital. Il lui faut
donc vendre exactement yOt - Odisp
t obligations, en commençant par celles
d'échéance
max(t+1, 60), puis
max(t+1, 60)+1 et ainsi de suite jusqu'à
t+59. Si la vente de l'intégralité du portefeuille
d'obligations ne permet pas de combler le déficit27, la
banque va chercher la partie manquante dans ses capitaux propres et l'inscrire
en négatif dans sa marge nette de la date t. Pour illustrer
notre propos, supposons qu'il existe i ? {max(t +
1, 60), ... ,t + 58}
|
i
|
i + 1
|
|
tel que yOt - Odisp
t >
|
X
k=max(t+1,60)
|
nk(t) et yOt -
Odisp
t =
|
X
k=max(t+1,60)
|
nk(t). Dans ces
|
conditions, la banque vend toutes ses obligations
d'échéance max(t + 1, 60), ... , i
et une
i + 1
|
quantité mi+1(t) =
|
X
k=max(t+1,60)
|
nk(t) - (yOt -
Odisp
t ) de ses obligations d'échéance i
+ 1.
|
Cela permet de récupérer exactement en capital le
montant yOt - Odisp
t puis
d'investir
I0t = yOt
en zéros-coupons d'échéance un mois.
Évidemment, aucune obligation n'est alors achetée en t.
Cependant, cette liquidation dans l'urgence des actifs longs impacte la marge
nette selon
i
X
IRM(t) =
IRMprovisoire(t)+
nk(t)(Bond(t, k) - 1) +
mi+1(t)(Bond(t,i + 1) - 1)
k=max(t,60)+1
Le portefeuille d'obligations détenues s'actualise
alors selon nt(t + 1)=0, nk(t + 1)=0 pour
k ?{max(t + 1, 60), ... , i},
ni+1(t + 1)=ni(t) -
mi(t) et nk(t + 1)=nk(t)
pour les autres k.
À la date finale t=h, la banque dispose
de liquidités à hauteur de
Odisp
h =Oh - (1 - y)Oh-1 +
nh(h) et du portefeuille d'obligations décrit par les
données des
ni(h), i?{h + 1, ... , h
+ 59}. Elle perçoit sa dernière marge
d'intérêts
h+59
k =h
IRM(h) = yOh-1
ZC(h - 1, h) 1 1) E +
x(k-60)nk(h)
À terme, le portefeuille d'obligations s'actualise donc
selon nh(h +1)=0 et nk(h
+1)=nk(h) pour k 6=h.
27Remarquons cependant que ce cas est hautement
improbable
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