Intégration financière et diversification

2.6 La modélisation GARCH multivariée

Le modèle GARCH multivarié constitue la clé de voûte de notre travail, raison pour laquelle nous jugeons indispensable de faire une circonscription sommaire des différentes modélisations GARCH multivariées dans le but d'exposer tous les cas de figure. Cependant, nous avons délibérément exclu le modèle à corrélations conditionnelles constantes (CCC-GARCH) et le modèle de corrélation conditionnelle dynamique (DCC-GARCH) car ils ne s'inscrivent pas dans le cadre de cette étude.

2.6.1 Le Modèle non contraint

Partant d'abord d'un GARCH (1,1) bivarié pour rendre compte de la problématique se rapportant au nombre de paramètres à estimer pour les GARCH (p, q) multivariés à n composantes. Soient r1,t et r2,t les rendements de deux actifs 1 et 2 obéissants aux processus suivants :

r1, t = ì 1 , t + å 1 , t , (2.27)

r2 , t = ì2, t + å 2, t . (2.28)

En posant posons ( ' ) ' ,

å = å 1 , tå 2 , t

on obtient :

2 ? å å å ? ? h h ? 1 , t 1 , 2 , t t 1 1 , t 1 2 , t Å ? ( ) 1 1 , 2 , å å , = Å ? ? = t t t t 1 ? ?? h h ?? ? å å å ^2 2 , 1 , t t 2 , t ? 2 1 , t 22 , t

= Ht

. (2.29)

Ce qui nous permettra de construire le GARCH(1,1) bivarié :

?h? 1 1 , t ? ? ? h 2 1 , t ? ? ? ?h22 . t ?

C+A ·

2 ? å ? 1 , 1 t - ? ? ? å å ? + · B 1 , 1 2 , 1 t - t - ? 2 ? å ? 2 , 1 t - ?

? h ? 1 1 , 1 t - ? ? ? h ? 2 1 , 1 t - ? ? ? h 22 , 1 t - ?

,

(2.30)

avec

? c ? ? a a a ? ?

11 11 12 13

b 13

b b

11 12

?

?

? .

?

?

? ? ? ? ?

b ₂₁ b 22 b23

C = ? c , A = =

21 ? ? a a a 23 ? , B

21 22 ?

? c 22 ? ? a a a

31 32 33 ? ?

b ₃₁ b 32 b33

? ? ? ? ?

Rappelons au travers que non contraint signifie que chaque élément de la matrice variance - covariance conditionnelle est généré par le même type de processus GARCH. Dans la littérature économétrique, on utilise souvent le nom VECH pour désigner cette représentation.

Elle nous permet d'extraire les variances et covariances conditionnelles comme suit :

2 2

h 1 1 , t = c ₁₁ + a + a12å2 , t- 1 + a + b h +b h + 13 2, t- 1 11 1 1, t- 1 12 2 1, t- 1 13h 22, t-1

;

(2.31)

2 h 1 2 , t = c ₂₁ + a + a22å1J-1å 2,t-1 + a ² + b h +b h + 1, t- 1 23 t- 1 21 1 1, t- 1 22 2 1, t- 1 23h 22, t-1

;

22

h = +

c a + a å å + a b h b h

22 , 22 31 1 , 1

å - 32 1 , 1 2 , 1

- - 33 1

å + b h + +

- 31 1 1 , 1

- 32 2 1 , 1

- 33 22 , 1 .

t t t t t t t t -

Précisons que h_{1 1} , _t et h 22 , t ne sont que les variances conditionnelles de nos deux actifs 1 et 2 et enfin h1 2, t leur covariance conditionnelle.

Il est clair que ce processus GARCH(1,1) bivarié non contraint nécessite l'estimation de 21 paramètres. Pour un modèle GARCH(p,q) multivarié à n équations, le nombre de paramètres à estimer est donné par la formule suivante :

n ( n n + 1 ) + ( p + qtn( n 2+^1V

.

Ainsi pour un GARCH(1,1) multivarié à n = 4 équations le nombre de paramètres à estimer s'élève à 210. On remarque vite qu'il devient très contraignant d'estimer des processus non contraints pour un nombre élevé de titres. D'ailleurs en pratique on se cantonne à des processus GARCH(1,1) bivarié auquel on impose des hypothèses restrictives pour limiter le nombre de paramètres à estimer, ce qui a donné lieu à différentes conceptions économétriques contraintes.