2.2 Intérêt des moments conditionnels
S'agissant de la pratique financière, la plupart des
décisions émanent d'un calcul fondé sur les moments
non
conditionnels. On peut évoquer le ratio de performance de Sharpe qui est
une mesure ex-post.
L'objection majeure adressée aux mesures ex-post est
qu'elles captent indifféremment tous les comouvements, risqués et
non risqués. Illustrons cela par le biais d'un exemple simple en se
basant sur les processus suivants :
r 1 t = á0 +
á1 ( xt-1) +
å1t, (2.5)
r t= â +
â x t - + å t (2.6)
1 ( 1 ) 2 ,
2 0
où r1 t et
r2 t rendements en temps t, å1
t et å2 t sont deux
termes d'erreurs,xt-1 et une variable exogène et les paramètres
á 0 , á1,
â0 et â1 .
Supposons que :
Å[ xt - 1 ] = 0,
Å[ x t - 1 å 1
t] = Å[ xt-1å2 t],
Å [ å it 2 ]=
Var(åi) ,
Å [ å 2 t
] = Var ( å i ) ,
1Å [ å it å
jt ] = cov(åi,å
j) .
Il en résulte la variance non conditionnelle suivante :
Å ? Å
[ ( [ ] ) ( [ ] ) ] [ (
r r r ? Å r = Å +
á á + - )( + )
1 1 2 2 0 1 1
x å á â â å â
1 0 0 1 1
x + - 0 ] ;
t t t t t - t t - 2 t
= Å[ (á1 x t - 1 +
å1t )(â1 xt-1 +
å2t )] ;
= [ t ] [ t
2
Å á â x + Å å â
x t ] [ t
+ Å å á x t ] [ t t
]
+ Å å å ; (2.7)
1 1 1
- 1 1 1
- 2 1 1
- 1 2
= [ t ] [ t t ] [ t t ] (
i j )
á â x 2
Å + Å
â å x + Å
á å x + Cov å å
, ;
1 1 - 1 1 1 - 1 1 2 - 1
= (á1
â1Var[ x]) +
Cov(åi ,åj) .
L'expression( (á1
â1var[ x]) est connue au t.
Concernant la covariance conditionnelle elle est donnée
par :
Å t - 1[
;
( [ ] ) ( [ ] ) ] [
r ? Å ? Å ( )( )]
1 1 r 1 r 2 1 r 2 = Å +
á á
0 1 1
x + - -
å á á ä ä
0 1 1
x + + - -
å ä ä
t t - t t t t
- t - it t - 0 1 1
x t - 2 t 0 1 1
x t -
Å (åitå jt ) , Selon
l'hypothèse de l'homoscédasticité
= cov(å it ,å jt ) .
(2.8)
À la comparaison des deux résultats, on voit
clairement que la mesure conditionnelle est plus judicieuse, car la mesure non
conditionnelle, capte les fluctuations de la variable retardée
xt-1 qui est connue en t et donc ne présente pas de risque.
Le recours à la variance non conditionnelle fausse le niveau de risque
effectif auquel le décideur est confronté en incluant des
informations non pertinentes pour la prise de décisions.
2.3 Propriétés des séries
financières
L'analyse des séries financières nous renseigne
que généralement la distribution marginale des séries
financières est asymétrique. Le moment d'ordre 3 est
différent de 0. Sous forme mathématique, ceci s'écrit
comme suit :
( ) 0
3
? -
rit ì ?
M ? . (2.9)
3 = Å ó3
?? ??
? ?
Du reste, Engle et Ng (1993) ont constaté qu'une baisse
des prix des marchés financiers est souvent accompagnée d'une
hausse plus importante de la volatilité que ne le serait une hausse des
prix. Autrement dit, les mauvaises nouvelles ont plus d'impact sur la
volatilité que les bonnes nouvelles.
Une autre caractéristique des séries
financières est que leurs distributions sont
généralement
leptokurtiques, c'est à dire que le moment d'ordre 4 de
leurs distributions marginales est plus grand que 3.
( ) 4
rit - ì
M = > 3. (2.10)
4 ó 4
Pour une distribution normale M4 = 3.
Ceci nous renseigne que les extrémités de la
distribution sont plus épaisses comparativement à celle de la loi
normale, ce qui pourrait être du à la présence d'une
dynamique non linéaire car la volatilité dépend
considérablement du passé. Selon Gourieroux (1992), les
modèles de type ARCH (autorégressif conditionnellement
hétéroscédastique) mis au point par ENGLE (1982) sont de
nature à modéliser la leptokurticité inhérente aux
séries financières puisque si on calcul le coefficient kurtosis
adossé au modèle ARCH on trouve que celui-ci génère
des coefficients supérieur à 3. D'après les travaux de
Bollerslev (1986), les processus de type GARCH semblent plus adaptables. Sur le
même plan, la littérature financière nous indique que le
GARCH(1,1) reste inévitable, en raison entre autre de sa
simplicité et le nombre réduit de paramètres à
estimer. Néanmoins, ce processus dans sa variante univarié ne
permet pas de
prendre en charge les effets d'asymétries
émanant des données de grande fréquence, le recours
à l'hypothèse restrictive de l'indépendance des
volatilités conditionnelles entres les différents actifs s'impose
dans ce cas. C'est à dessein que d'autres processus univariés
plus réalistes sont apparus pour tenir compte de l'asymétrie :
les plus populaires sont à l'évidence le GARCH de Glosten,
Jagannathan et Runkle (1993) le GARCH exponentiel de Nelson (1990) de
même que le TARCH. Mais ces processus ne résolvent pas le
problème du GARCH univarié lié à
l'indépendance. C'est dans l'ambition de dépasser ce handicap que
les processus GARCH multivariés sont apparus ultérieurement.
La robustesse des processus multivariés réside
de l'abstraction qu'ils font de l'indépendance des variances
conditionnelles entres les actifs de marchés. Le phénomène
de l'asymétrie est cependant rarement pris en compte dans les
modélisations multivariés, Arouri Mohamed El Hedi (2003) publie
un article novateur dans lequel il développe et teste une extension
asymétrique du modèle GARCH multivarié de Santis et
Gérard (1997). Ce travail s'inspire de cet article et le réplique
pour mieux baliser le terrain de l'intégration financière et la
diversification internationale du portefeuille.
Le modèle d'évaluation des actifs financiers
(MEDAF) développé par Sharppe (1964) et Litner (1965) s'inscrit
dans le cadre de l'extension des travaux de Markowitz (1952,1959) portant sur
l'optimisation de gain par le filtre moyenne - variance et la diversification
de portefeuille. Ce modèle sert à déterminer la
rentabilité espérée des actifs financiers en fonction de
leur sensibilité au risque du marché ou risque
systématique. Il s'adosse sur le fait que les décideurs quelle
que soit leur aversion au risque, choisissent des portefeuilles efficients en
terme de moyenne - variance. Un résultat du MEDAF est que seul le risque
systématique est rémunéré. Le risque individuel
associé à la détention d'un titre n'en est pas
rétribué car ce risque pourrait faire l'objet de
diversification.
Le MEDAF établit que les rendements
excédentaires d'un titre par rapport à l'actif sans risque sont
une fonction linéaire des rendements en excès du
marché.
Solnik (1974) présente une transposition internationale
du MEDAF, le modèle international d'évaluation des actifs
financiers MEDAFI susceptible de spécifier empiriquement la nature de
l'intégration des marchés financiers :
~ ~
Cov R R
( it wt
,
- =
it ) R ft ~
Var R
( wt )
) ( ( wt ) ft )
Å ~ -
R R
E R
(
~
, (2.11)
~ ~
avec : R it est la rentabilité du titre (ou du
portefeuille), Rwt celle du indice mondial et enfin
Rft le taux
sans risque.
Dans la section relative aux caractéristiques des
séries financières, nous avons vu que les rendements boursiers
sont très volatils et hétérospécifiques. Ces
caractéristiques biaisent l'estimation des primes de risques et seraient
la source de l'abandon empirique des modèles internationaux non
conditionnels.
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