2.2- Le Modèle de croissance avec incertitude
d'Aizenman et Marion (1995)
On rappelle que ce modèle se base simplement sur le
fait qu?en situation de volatilité et donc d?incertitude, les agents
économiques prennent leurs décisions d?investissement en
accordant plus de poids au mauvaises nouvelles à venir qu?aux bonnes :
C?est l?aversion à la déception.
2.2.1- hypothèses et résolution du
modèle
Les préférences d?un agent économique
averse à la déception peuvent être saisies à travers
le système [u(x), â] où u est la fonction d?utilité
conventionnelle décrivant l?utilité de la consommation x,
[u?>0 et u??<0], et â ? 0 est le paramètre qui mesure le
degré d?aversion à la déception. Soit V(â)
l?utilité espérée d?un agent averse à la
déception dont le degré d?aversion est â. En l?absence de
risque lié à la volatilité, l?utilité de l?agent
est simplement u(x).
Supposons maintenant qu?il existe deux états de la
nature. Avec la probabilité á l?agent reçoit le revenu x1,
et avec (1-á) le revenu x2, avec x1>x2. Pour cet exemple,
l?utilité espérée avec aversion à la
déception est simplement :
V(â) = [áu(x1) + (1-á) u(x2)] - â
(1-á) [V(â)-u(x2)] (I)
Dans cette expression, le premier terme dans les crochets
à droite représente l?utilité espérée
conventionnelle en l?absence d?aversion pour la déception, et le second
terme est le degré d?aversion (â) multiplié par la
déception espérée. En réarrangeant
l?égalité précédente, on obtient :
V(â) = [á (1-è1)] u(x1) + [(1-á)
(1+è2)] u(x2) (II)
Où è1= (1-á) k > 0, è2=
ká > 0, et k= â/ [1+ (1-á) â] > 0. Si l?agent
est averse à la déception alors (â > 0) ; il attache un
poids supplémentaire de (1-á) è2 aux mauvaises situations
où il est déçu (relativement à la
pondération probabiliste utilisé dans l?utilité
conventionnelle), il attache un poids plus faible áè1 aux bonnes
situations, avec (1-á)è2 = áè1. Le paramètre
â mesure donc l?écart d?importance entre les mauvais et les bons
états de la nature. Notons ici que pour (â = 0), la fonction V
devient identique à la fonction conventionnelle d?utilité. Dans
ce cas les situations favorables et défavorables sont traitées
symétriquement dans la pondération de la mesure de
l?utilité.
Maintenant, examinons le rôle de l?aversion dans la
relation volatilité-accumulation de capital. On s?appuie sur un exemple
à deux périodes où le seul risque est l?incertitude sur
les rendements de l?investissement issu de la volatilité. Pour isoler
l?impact de l?aversion au risque de premier ordre, Aizenman et Marion (1995) se
concentrent sur le cas où les d?ajustements sont nuls.
L?utilité est inter temporelle, et les agents
présentent l?aversion à la déception en situation de
risque. A la période 1, l?agent débute avec une dotation de
capital K et un revenu extérieur Z. la fonction de production à
la première période est f(K), avec f?>0 et f??<0. Le revenu
de la période 2 est aléatoire et donné par Z + f (K+I)
(1+ë), ë est un choc aléatoire de productivité et I
l?investissement de la période 1. On suppose deux états de la
nature, d?où ë = (î, -î) qui arrive avec des
probabilités égales.
Le consommateur choisi le niveau de l?investissement I de sorte
qu?il puisse maximiser la fonction d?utilité espérée
averse à la déception :
u[Z + f(K) - I] + V(â)/ (1+ñ) (III)
ñ est un facteur d?escompte subjectif ; en appliquant (II)
et (III), l?agent maximise
1
1
1
+0.5fl
* {u[Z + f(K+I)(1+î)] + (1+â) u[Z + f(K+I)(1-
î)]} (IV)
u[Z + f(K) - I] +
Et l?investissement optimal qui en résulte est:
I = I0 + î ( ) +1 h(î2
(V)
1 +0.5fl
Où I0 est le taux d?investissement en absence de
volatilité et h(î2) représente les termes
proportionnelles à î2, et
|
=
|
Uf[ Z+f(K+I)][1 --Rt f(K+I) 11
[Z+f(K+1)].)-
|
|
[~ ( ( )) ( '( )) 2 '( ( )) " ( +I)] +(1
+p)u" (Z+f(K)--I)
|
Où R est le coefficient de l?aversion relative au risque,
avec R= -d (log u?(x))/d (log x). Donc pour les î très petit, on
a
dI = ( d=1111111111111111111111( et
1 +0.5fl
I
] = signe [] = -signe [1-R*
+I) ] (Vb)
Signe [
I)
| 
