Simulation de modèles de diffusion appliqués aux taux d'intérêts

4.4 Modèle de Vasicek a 2 facteurs

Definition 32 Modéle de Vasicek a deux facteurs

Le modéle de Vasicek a deux facteurs se présente comme la somme d'un premier facteur, xt_;representant le taux d'intérêt court instantané (short rate) et d'un autre facteur, yt,representant le taux d'intérêt a long terme (long term interest rate).

Dams le ynodéle de Vasicek a deux facteurs, le taux court imstamtamé sous la probabilité meutre au risque Q, est dommé par

Tt = Xt + yt (4.25)

dx = kx(Ox - xt)dt + a_xdW¹ (4.26)

t

dyt = ky(Oy - yt)dt + aydW t 2 avec d (W1, w²) = pdt (4.27)

(voir [8])

4.4.1 Estimation des paramètres du modèle de Vasicek a 2 facteurs

L'estimation des paramètres du modéle de Vasicek a deux facteurs se fait de la même façon que pour le modeèle de Vasicek a un facteur, nous estimerons les paramètres des processus Xt et yt par EIVV.

Nous utilisons l'historique des taux d'intérêts a court terme des bons du trésor Américain dont l'échéance est a 4 semaines pour estimer les paramètres du processus Xt.

Les resultats obtenus pour Xt sont les suivants :

^b~_x = 0:05747338 bk = 2:90211453 ^b~_x = 0:05136251

Nous utilisons l'historique des taux d'intérêts a long terme des bons du trésor Américain dont l'échéance est a 52 semaines pour estimer les paramètres du processus Yt
·

Les resultats obtenus pour Yt sont les suivants :

^b~_y = 0:18038052 ^b1c_y = 0:42094486 ^b~_y = 0:02654436

4.4.2 Simulation du modèle de Vasicek a deux facteurs

Afin de simuler, nous discrétisons le modèle et obtenons ce qui suit :

^brt = ^bxt + ^byt (4.28)

/

^dxt+h = ^bxt + k_x(O - ^bxt)h + a_x hZ (4.29)

t

yt+h =

/ ^byt + ky(Oy -- ^byt)h + ay hZ (4.30) t

Algorithme 33 modêle de Vasicek a deux facteurs

1.Simuler m réalisatioms (zi...z_n) de la variable aléatoire z '-" .N(O, 1) 2.Simuler m réalisatioms (z^' ₁...z^' _n) de la variable aléatoire z^' '-" .,A/(O, 1) 3.Imitialiser x0

4.imitialiser yo

5.Pour j = 1...m, calculer :

_{s/ p}

xj = xj-i + k(O - xj-i) A t + a A t(p * zj + 1 - p²*z^' _j) (4.31)

6.Pour j = 1...m, calculer :

_-s/
yi = yj-1 + k(O - yj-i) A t + cr A tz3 (4.32)

7.faire

rj = x3 + y3 (4.33)

FIGURE 12.1 : Simuation du modèle FIGURE 12.2 : Flux de trajectoires

4.4.3 Simulation de la solution exacte du modèle de Vasicek a 2 facteurs

Par application du lemme d'Itô xt et yt, on trouve :

xti+1 = e

r 1 _kx(ti+1_ti)xti + Ox(1 - e_kx(ti+1_ti)) + x (1 - e_2k(ti+1_ti))Zl ti+1 (4.34) 2kx

_s

1

yti+1 = e_ky(t%+1~t%)yt. + O_y(1 - e_ky(ti+1_ti)) + _y (1 - e_2k(ti+1_ti))Z2 ti+1 (4.35)

2k_y

Tt. = xti + yti (4.36)

Il suffit de simuler la solution exacte de chacun des deux processus de taux et ensuite de prendre la somme.

(voir [6])

FIGURE 13.1 : Simulation de la solution FIGURE 13.2 : Flux de trajectoires