Simulation de modèles de diffusion appliqués aux taux d'intérêts

4.3 Modèle de Cox, Ingersoll & Ross (CIR)

Définition 30 Processus racine-carrée

Cox, Ingersoll et Ross utilisent le rocessus racine carrée étudié par Feller comme modêle de taux

drt = k(0 - rt)dt + aJrtdW Q (4.15)

t

oh k, 0 et a sont des constantes positives avec 0 la moyenne a long terme du procesus, k le taux de retour a la moyenne, a est le coéfficient de diffusion de la volatilité et r est le taux d'intérêt sans risque.Ce modêle garantit la positivité du taux court, la solution de cette EDS reste strictement positive sous la condition 2k0 > a².

(voir [1])

4.3.1 Estimation des paramètres du modèle de Cox, Ingersoll & Ross

Contrairement au modèle de Vasicek, il n'est pas possible d'utiliser le maximum de vraissemblance pour estimer les paramètres du modèle CIR, cela est dii au fait que le taux d'intérêt rt ne suit plus la loi normale mais un khi-deux décenté.

Nous utiliserons l'optimisation numérique pour obtenir les paramètres du modèle CIR La fonction de répartition de rt est :

P(r(t) y/r(u)) = FX2 (d,A)( 4ky

a²(1 - ek(tu))) (4.16)

La fonction desité de probabilité est la suivante :

on _p(d,A)(cy) est la densité de probabilité du Khi-deux non central et

c =

4k
cr²(1 - e_k(t_u))

Nous pouvons définir la vraissemblance et la log-vraissemblance de la facon suivante :

L(k,O,a;y) =	Yn z=2	cp(4.18) X2 (d,A)(cyi/yi_1) avec y = r1, r2, ..., r
l(k,O,a;y) =	Xn z=2		log(c) +	Xn z=2	log(p(4.19) X2 (d,A)(cyi/yi_1))

(voir [6],[12])

Le code en R pour calcul de la fonction log-vraissemblance ainsi que pour l'optimisation numérique est présenté en annexe.

Nous utilisons l'historique des taux d'intérêts des bons du trésor Américain pour obtenir les paramètres du modèle de Cox, Ingersoll & Ross (du 03/01/2012 au 02/10/2012)

bO	=	0.05494378
bk	=	2.26582778
^b	=	0.05132961

\/ /

^brt + k(O - ^brt)h + a ^brt hZ (4.20)

4.3.2 Simulation du modèle de Cox, Ingersoll et Ross

Aprés discrétisation du temps :

^drt+h =

Algorithme 31 modêle de Cox, Ingersoll et Ross

1.Simuler n réalisations (z1...z_n) de la variable aléatoire z '-" .Af(0, 1) 2.Initialiser r0

3.Pour j = 1...m, calculer :

r = rj_1 + k(O - ri_1) A t + a/rj_1 A tzj

FIGURE 10.1 : Simulation du modèle CIR FIGURE 10.2 : Flux de trajectoires

4.3.3 Simulation de la solution exacte du modèle CIR

Pas de solution explicite pour rt en fonction de r0 et W, mais nous savons que la distribution est un x² decentré.

La densité de transition de r(t) s'écrit :

cr²(1 - e_k(t_u)) d ( 4ke_k(t_u)

r(t) = X 2 ²(1 - e_1c(t_u))r(u)), t > u (4.21)

4k

2

4_ke_k(t_u)

~ =

40k

d =

cr²(1 - e_1(t_u))r(u)

(voir [4])

Nous simulons aux instants 0 = t0 < t1 < ::: < t_n

FIGURE 11 : Simulation de la solution du modèle CIR.