à‰tude des différentes lois de commande pour un robot manipulateur à 6DDL comportant une liaison prismatique

IV.3.2. Formalisme de Lagrange 

Les équations de Lagrange permettent d'obtenir directement les relations entre les efforts moteurs aux articulations et les mouvements. Par rapport aux équations de Newton, on perd au passage les informations sur les efforts de réaction aux articulations qui sont utiles au dimensionnement des parties mécaniques, mais n'interviennent pas dans un modèle utile à la commande automatique puisque les corps sont supposés indéformables [CHE 03].

Il s'agit de n équations différentielles non linéaires du second ordre obtenues à partir de :

(IV-17)

avec :

L est le Lagrangien du système, c'est la différence entre l'énergie cinétique du système, et l'énergie potentielle du système.

(IV-18)

Pour tous les systèmes mécaniques, l'énergie cinétique est une forme quadratique des vitesses :

(IV-19)

où est une matrice symétrique définie positive dépendant des masses et des inerties de chaque corps du mécanisme, et de la configuration q . En effet :

(IV-20)

et on a vu que les vitesses de translation et de rotation de chaque corps sont des fonctions linéaires des vitesses articulaires.

D'autre part, l'énergie potentielle est fonction de la configuration du mécanisme:

Il en résulte que les équations de Lagrange peuvent s'écrire :

(IV-21)

où le premier vecteur représente les forces ou couples d'inertie sur les articulations motorisées, le deuxième (du second degré par rapport aux vitesses) correspond aux effets centrifuges et de Coriolis, le troisième traduit les efforts dus à la pesanteur et aux ressorts. [éEF 05]

Le modèle dynamique lorsqu'on applique la force peut s'écrit sous la forme :

(IV-22)

où :

La matrice d'inertie est obtenue directement à partir de l'expression de l'énergie cinétique  ; L'élément est égal au coefficient de dans l'expression de l'énergie cinétique, tandis que l'élément est égal au coefficient de.

Le calcul des éléments de C se fait à partir du symbole de Christophell selon la relation :

(IV-23)

Le calcul de Q se fait à partir de l'énergie potentielle :

(IV-24)

Si on prend en compte l'effet du frottement dans les liaisons sur le mouvement, on doit ajouter au deuxième membre de l'expression (IV-24) le vecteur.

L'équation dynamique devient :

(IV-25)

Si on tient compte des inerties des actionneurs, l'élément de la matrice d'inertie doit être augmenté de

Il est évident que pour trouver les éléments de M, C et Q, il faut tout d'abord calculer les énergies cinétique et potentielle de tous les corps du robot.

Calcul de l'énergie cinétique :

L'expression de l'énergie cinétique total d'un système composé de n corps rigides est :

(IV-26)

Où désigne l'énergie cinétique du corps, qui s'exprime par :

(IV-27) Etant donné que :

(IV-28) Et sachant que :

(IV-29) La relation (IV-28) devient :

(IV-30) Dans l'équation (IV-32), tous les éléments doivent être exprimés dans le même repère. La façon la plus simple est de les exprimer dans le repère R_i, l'équation devient donc :

(IV-31)

Le calcul de et de se fait par la relation (III-11).

Calcul de l'énergie potentielle :

L'énergie potentielle s'écrit :

(IV-32) En projetant les vecteurs de cette relation dans _, on obtient :

(IV-33)

Les énergies cinétiques et potentielles étant linéaires par rapport aux paramètres inertiels, le modèle dynamique l'est également.