à‰tude des différentes lois de commande pour un robot manipulateur à 6DDL comportant une liaison prismatique

III.2.2. Calcul direct de la matrice Jacobienne

On peut utiliser une méthode très répandue pour le calcul cinématique, qui permet d'obtenir la matrice jacobienne par un calcul direct fondé sur l'influence que produit chaque articulation d'ordre de la chaîne sur le repère terminal.

a) articulation prismatique

z _j

On peut calculer en considérant séparément les cas d'une articulation prismatique et d'une articulation rotoïde:

Figure III.1. Influence du type de l'articulation sur le repère terminal

où :

 : désigne le vecteur d'origine et d'extrémité

 : est le vecteur unitaire porté par l'axe de l'articulation  .

En introduisant le coefficient binaire, les vecteurs s'écrivent :

(III-5)

Grâce au théorème de la composition des vitesses, on peut sommer toutes les contributions élémentaires de chaque articulation afin d'obtenir les vecteurs finaux des vitesses de translation et de rotation du repère terminal par l'expression :

(III-6)

Par identification avec la relation (III-2), la matrice Jacobienne exprimée dans le repère, notée, s'écrit :

(III-7)

D'une façon générale, projetée dans le repère, la matrice jacobienne notée s'écrit :

(III-8)

En remarquant que :

(III-9)

avec :

·  : matrice d'orientation de dimension du repère dans le repère,

· On calcule alors la colonne de la matrice Jacobienne, notée , projetée dans le repère par la formule :

(III-10)

où :

^{· i}s_k, ⁱn_k et ⁱa_k : sont respectivement le vecteurs de la matrice ⁱA_k.

^{· k}P_nx et ^kP_ny : sont respectivement la composantes du vecteur qui est la quatrième colonne de calculée précédemment par le modèle géométrique direct.

III.2.3. le calcul du MCD par les équations de récurrence

Connaissant J_n  les vitesses de translation et de rotation du repère R_n peuvent être obtenus à partir de la relation (III-2). De point de vue nombre d'opérations, il est cependant plus judicieux d'utiliser les équations de récurrence suivantes :

(III-11)

On initialise la récurrence avec les vitesses opérationnelles et de la base du robot.

La vitesse obtenue dans ce cas est _, pour trouver on fait la projection de ce vecteur dans le repère R₀ :

(III-12)

Le calcul du MCD, par la matrice jacobienne ou bien par les équations de récurrence, donne le vecteur où est la dérivée par rapport au temps du vecteur de position , mais le ne représente pas la dérivée de l'orientation, il faut trouver donc une relation entre les coordonnées opérationnelles X et le modèle cinématique.