Théorèmes du point fixe et ses applications

2.1.2 Théorème de point fixe de Brinciari

Dans cette soue section on va présenter, avec plus de détails, le théorème de point fixe de Brinciari qui est une généralisation du théorème de contraction de Banach. Celle ci se fait via l'introduction d'une contraction de type intégral.

En 2002 Branciari a démontre le théorème suivant :

Théorème 2.1.2 Soient (X, d) un espace métrique complet et

T : X -- X

une application satisfaisant

d(Tx,Ty)

d(x,y)

_Z çü (t) dt c _Z ço(t)dt, (2.4)

0 0

pour tout x, y 2 X , ot 0 c < 1 et

' : R+ ! R+

une fonction intégrable au sens de Lebesgue vérifiant

_Zc çü (t) dt > 0 pour tout c > 0. (2.5)

0

Alors T admet un point fixe unique u dans X. D'autre part, pour tout x0 2 X, on a

lim Th-400			T ^nx0 = u.
Preuve Etape 01 : On va démontrer que	d(T^nx,T^n+^1 )			d(x,T(x))
Z 0		çü (t) dt cTh			Z 0	çü (t) dt,

on ii désigne la puissence de l'application.

Par récurrence et en utilisant 2.4 on aboutit a

d(T^nx,T^n+1x)

d(T^n_1x,T^nx)

d(x,T(x))

_Z çü (t) dt c _Z ço(t)dt < ... < cTh _Z ço(t)dt.

0 0 0

Donc

d(Tⁿx,Tⁿ+¹x)

_Z

0

lim

fl-400

ço(t)dt = 0⁺. (2.6)

Par conséquent

d (T^ax, T a+4x)

tend vers zéro quand n tend vers l'infini. Etape 02 :

Supposons que

lim

a-400

supd(T ax,T a+4x) = > 0,

i.e.pour tout € > 0, il existe K_E 2 N et une sous suite (T a"x)K _~K tel que pour tout K ~ K_E et x 2 X, on a

~_~d (T^aKx, T ^a"+4x) - " ~~ ~ ~".

D'autre part

d(T a"x,T a"+4x) > "

2

pour tout K ~ K_E. Comme çü est positive on a d'aprés 2.5 et 2.6 la contraction suivante

d(T^n(K)x,T^n(K)+¹x)

0 = lim a-400

Z 0

çü (t) dt

E
2

> _Z ço(t)dt > 0.

0

Par conséquent,

lim

a-400

d (T^ax, T a+4x) = 0.

Etape 03 :

Montrons maintenant que (T _ax)aENest une suite de Cauchy, cela est

V > 0, 9K_E/m > n > K_E : d(T^mx,T^ax) < ".

Supposons le contraire. Alors, il existe € > 0 et deux sous-suites _{mK}KEN et _{nK}KEN avec mK > nK > K_Etelles que

d(T^m"x,T^a"x) ~ €. (2.7)

Pour tout, soit le plus petit entier suivant et vérifiant 2.7, i.e.

d(T^mKx, T ^a"x) ~ €etd (T'x, T ^a"x) < ",pour tout
h 2 {nK + 1,...,mk_1}

Maintenant on analyse les proprietees de

d (T^mKx,T^nKx) et

d (TmK+1x, ^TnK+1x) .

Tout d'abort, nous avons par l'inegalitee triangulaire et l'etape 2 E < d (T^mlx, T^nKx)

< d (TmKx,TmK-lx) + d (T^mK-ix,T^nKx)

< d (TmKx, TmK-1x) + E.

Cela nous donne

d (T^mKx,T^nKx) --> E lorsque K --> oo. (2.8)

En outre , il existe u 2 N ,tel que pour tout entier positif K > u, on a

ⁱx,T^nK+ix) < E.

d (T^mK#177;

En effet, s'il existe une sous-suite _{(ml)l EN} tel que

d (TmKi-ix,TnKrEix) > _E,

alors on a

< d ^(TmKi+1 x,Tnici+lx)

E

< d (TmKi+1x,TnKix) + d (TmKix,TnKix) + d (T^mKix, ^TnKi+1x) ,

en utilisant 2.6 et 2.8, on trouve lorsque l --p 1

d (TmKi+ix,TnKi+lx) _>. E. (2.9)

En appliquant 2.4 on obtient d(T^mi +^1x2T^ni +^1x)				d(T^mic x,T^nic x)
I 0	cp (t) dt < c				I 0		cp (t) dt (2.10)
K --> oo,		E I 0	E cp (t) dt < c I 0			cp (t) dt (2.11)

En utilisant 2.8, 2.9 et 2.10, on trouve lorsque

qui est une contradiction. Donc, pour un certain u 2 N, on a

d (T^mK+1x,T^nK+1x)) < E

pour tout K > u.

Finalement, on démontre la propriété forte i.e., qu'il existe un nombre positif 8_E 2 10, E[ et K_E 2 N,tel que pour tout K > K_E,on a

_lx, Tnx-Flx) < E -- 8_E.

d (T^mK#177;

Supposons l'existence d'une sous suite (Kl)l 2N ~ N tel que

#177;x,, rix-F_x) ) _>dd(TmKK "~

quand l1 --p oo, puis a partir de 2.4 +11xxnKKix))d( TmKKi		d(T^mK1 x,TnK1 x)
I0	cp (t) dt < c		I0	cp (t) dt ,

laissant l1 tend vers l'infini, on obtient de nouveau la contradiction que

^EEII0

Ee cp(t))dt t <ccII0o

cp (t) dt.

En conclusion de cette étape,, nous pouvons prouver le critere de Cauchy de la suite (Tnx)nn _EN .
· En effet pour tout entier positif K > K_E on a:

€ < d (T^mKx,T^nKx))

< d (T^mKx,T^mK+1x)) + d (_TmK_id-i_x,TnK-Fi_x) + d (TnK+ix,TnKx)) < d (_TmK_id-i_x,TnK-Fi_x) + (_E -- 8E)) + d (T^nK+ix,T^nKx) .

)

Passant a la limite quand K tend vers l'infini on trouve le suivant

E < lim n-->o

d (TmK+ix,TnK+ix) < E ~8E..

Donc, E <G E -- 8_E, qui est une contradiction. D'ou la suite (Tⁿx)) est une de Cauchy dans X. Etape 04 :

Dans cette étapee on va démontrerr l'existence du point fixe. Puisque (X, d) est un espace métriquee complet, alors ilt existe un point z 2E X tel que

z = 11M n-->o

T^nxx ,

de plus z est un point ffxe. En effet,supposons que

d(z,Tz) > 0,

donc

0 < d(z,Tz) d(z,T ^n+1z) + d(T ⁿ⁺¹z,Tz),

notons que

lim fl-400

d(z,T^Th+l,z) = 0 et

lim

fl-400

d(T ⁿ⁺¹z,Tz) = 0

car la suite (T nx)n EN est de Cauchy, et d(T^n+^1z,Tz)

d(T ^nx,z)

_Z çü (t) dt c _Z çü (t) dt --p 0quaiidii --p oc.

0 0

Maintenant si

d (T ⁿ⁺¹x, Tz)

ne converge pas vers zéro quand ii tend vers l'infini, alors, il existe une sous suite

(TmK+l)

K EN ~ ~T n+1I K EN

tel que

d (T^ThK+4x, Tz) ~ €

pour certain € > 0, donc on a

d(T^ThK x,Tz)

0 <

d(TⁿK+¹x,Tz)

çü (t) dt ~

_Z

0

_Z

0

_Z"

0

çü (t) dt c

çü (t) dt --p 0 quaiidK --p 1,

ce qui contre dit

_Z" ço(t)dt > 0.

0

Donc z = T z . L'unicité de z s'obtient aisément de la condition 2.4.

Remarque 2.1.1 Si on pose q (t) = 1 dans le théorême de Brinciari, on trouve le théorême de Banach.

L'exemple suivant montre que le théorème de Brinciari est plus général que théorème de Banach.

Exemple 2.1.1 Soit

{ 1 }

X = _n, Th 2 N^* U {0}

muni de la distance usuelle

d(x,y) = jx -- yj .

Puisque X est un sous-ensemble fermé de ; alors (X, d) est un espace métrique complet. Considérons l'application

T : X -- X

définie par

₈

<

:

Tx =

1
71

Si X =

,Th 2 N^*,

;

₉

=

;

1
71 + 1

0 Si X = 0

et définissons la fonction

' : R+ ! R+

par

( } 1 t t _2 (1 ~ ln t) si t 2 ]0; e[ ; ' (t) = 0 Si t 2 {0} U [e, oc[

:

On peut vérifier facilement que

_Ze çü (t) dt = _ee pour toute t > 0.

1

0

(a) Si x = y,on a

d(x,y) = 0

d(Tx,Ty) = 0

et	d(Tx,Ty)		d(x,y)
Z 0		çü (t) dt c		Z 0	çü (t) dt

pour tout c 2 ]0,1[.

(b) Si x = 0,y = 1 n

,n E N^* ou x = 1 n

,n E N^*, on obtient

d(Tx,Ty)

I (, (t) dt = ( 1 )n+1

n+ 1)

0

=

<

~ 1 n

1

n + 1 n + 1

~ 1 n

1

2 n

d(x,y)

=					1 2	I 0	cp (t) dt.
(c) Si x = 1 n	, y =	1 m	, n,m E N^*, on trouve

1 1

d(Tx,Ty)

I

0 cp (t) dt =

~~~~

n + 1

		1
~~~~	~~~	1	1	~~~
		n+1^--	m+1

m + 1

( ln -- ml (n + 1)(m + 1))

(n+1)(m+1) ln--ml

( ln -- ml

(n + 1)(m + 1))

(n+m+1)

ln--ml ( nm )

nm

ln--ml (ln -- ml)

nm

(n + 1) (m + 1)

nm

ln--ml

nm

ln--ml

< 1.1. On -- ml)₎

2 nm

d(x,y)

=

1 2

I 0

cp (t) dt

D'ofi, toutes les hypotheses du theoreme Brinciari sont verifiees et 0 est le point fixe unique de T. D'autre part,on ne peut pas avoir

d(Tx,Ty) < cd (x, y) pourc E 10, 1[ .

En effet, si x = 1

n

et y =

1

alors

n + 1,

d(Tx,Ty) =

(n + 1)¹ (n + 2),d (x , y) = n (n ¹+ 1)et

sup x,yEX,xy

d (T x, Ty) d (x, y)

= 1.