Théorèmes du point fixe et ses applications

1.1.2 Continuité, complétude, compacité

Définition 1.1.14 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métriques. Une application

f : X ~! Y

est continue au point a 2 X, si pour tout € > 0, il existe 8 > 0 tel que

D (f (x),f (y)) < (1.6)

dés que

d (x,y) < 8 (1.7)

On dit aussi que a est un point de continuité de f.

f est continue si f est continue en tout point de X.

L'ensemble des fonctions continues de (X, d) vers (Y, D) est noté C ((X, d) , (Y, D)) ofi tout simplement C (X, Y ).

Proposition 1.1.3 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métriques et

f : (X,d) ~! (Y, D)

une application alors f est continue en point a 2 X si et seulement si pour toute suite (U_n) converge vers a donc la suite f (U_n) converge vers f (a).

Théorème 1.1.1 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métriques et f : (X, d) -p (Y, D) une application, alors les assertions suivantes sont equivalentes :

i) f est continue sur X

ii) L'image réciproque par f de tout ouvert de Y est ouverte dans X.

iii) L'image réciproque par f de tout fermé de Y est fermée dans X.

Proposition 1.1.4 Soient (X, .k_X) , (Y, .k_Y ) deux espaces normés, et f application linéaire

f : (X,k.k_X) ~! (Y , k.k_Y )

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) f est continue.

b) f est continue en 0.

c) il existe c > 0, tel que f (x)M_y ~ C kxk_x, 8 x 2 X, si de plus est de dimension finie, alors

toute application lineaire

( )

f : (X, kk_x) ~! X, kk_y

est continue.

Definition 1.1.15 Soit (X, d) un espace métrique, une suite (x_n) E X est de Cauchy si et seulement si pour tout € > 0, il existe n0 > 0, tel que d (x_n, x_m) < dés que n, m ~ n0.

Proposition 1.1.5 On a

a) Si (x_n) est une suite convergente alors (x_n) est une suite de Cauchy .

b) Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence.

c) Une suite de Cauchy converge si et seulement si elle a une valeur d'adhérence.

Definition 1.1.16 Soit (X, d) est un espace métrique.

* Une partie A de X est bornée s'il existe a E X et r > 0 tels que

d (a,x) _< r, Vx E A.

* Une suite (x_n) c X est bornée s'il existe a E X et r > 0 tels que

d (a,x_n) _< r, Vn E N.

Proposition 1.1.6 Une suite de Cauchy est bornée.

Definition 1.1.17 Un espace (X, d) est complet si et seulement si toute suite de Cauchy (x_n) E X est convergente.

Soient (X, d) un espace métrique et A c X.

Proposition 1.1.7 On a

a) Si (A, d) un espace complet, alors A est un fermé de X .

b) Si (X, d) un espace complet et A est un fermé de X ,alors (A, d) est complet.

Corollaire 1.1.1 Dans un espace métrique A, A complet () A est fermé. Definition 1.1.18 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métriques et

f : X ~- Y

est bornée si son image f (x) est bornée.

Cb (X, Y ) = {f : (X, d) - (Y, D) , f est continue et bornée}

:

Proposition 1.1.8 Si (Y, D) un espace complet, alors Cb (X, Y ) est un espace complet.

Definition 1.1.19 Un espace (X, d) est compact si et seulement si pour tout recouvrement ouvert (Ui)i 2I de X,

(i.e.Uiouvert et X = Ui 2iUi ), on peut extraire un sous recouvrement finie c'est-à-dire il existe une famille J C I tel que

UX = Ui.

j EJ

Corollaire 1.1.2 Un espace (X, d) est compact si et seulement si pour tout famille fermé (F j)j 2I de X, telle que

n i El

Fi = ?,

il existe une famille finie J C I , telle que

flj EJFi = ø.

Definition 1.1.20 Un espace métrique (X, d) est compact si et seulement si toute suite (x_n) c X admet une sous suite convergente.

Proposition 1.1.9 Soit (X, d) un espace compact, et A c X, alors A est compact si et seulement si A fermé dans X.

Proposition 1.1.10 Soient (X, d) , (Y, D) deux espaces métrique, f est une application continue de X dans Y . Si X est compact, alors f (X) est un compact.

Proposition 1.1.11 Un espace compact est bornée et complet.

Definition 1.1.21 Soit (X, d) un espace métrique, une partie A de X est relativement compact si et seulement si toute suite de A admet une valeur d'adhérence dans X.