1.1.3 Connexite et convexite
Definition 1.1.22 Un espace métrique (X, d) est connexe si
et seulement si les seules parties a la fois ouvertes et fermées de X
sont 0 et X .
Proposition 1.1.12 Soient (X, d) un espace métrique et A c
X . Si A est connexe, alors A est connexe.
Proposition 1.1.13 Soient (X, d) un espace métrique et A c
X . Si A est connexe et
A c B c A,
alors est connexe.
Proposition 1.1.14 Soient (X, d) un espace métrique et
(Ai)i EI une famille connexe de X tel que
|
[
Ai n Ai =6 0, alors A =
i EI
|
Ai est connexe.
|
Corollaire 1.1.3 Soient (X, d) un espace métrique et
(Ai)i Ez une famille connexe de X tel que
n Ai 0. Alors A =U Ai est connexe.
i EI i EI
Definition 1.1.23 Soient (X, d) un espace métrique et x E
X , on appelle la composante connexe de x, noté C (x) la réunion
de out des connexes de X . Les toutes parties de X contenant x.
Proposition 1.1.15 On a
a) C (x) est la plus grand partie connexe de X contenant x .
b) Chaque composante connexe est fermée dans X.
Definition 1.1.24 Soient (X, d) , (Y, D) deux espace
métrique , f est une application continue de X dans Y . Si X est
connexe, alors f (X) est connexe.
Definition 1.1.25 Soit X un espace vectoriel, soit x, y E X, le
segment [x, y] est définit par
[x, y] = {t x + (1 -- t) y ,t E [0,1]} (1.8)
une partie C de X
est convexe si [x, y] c C, pour yout x, y E C.
Definition 1.1.26 On dit que l'ensemble A de X est convexe si et
seulement si
Vx, y E A, Vt E [0, 1] : {t x + (1 -- t) y} c A . (1.9)
Lemme 1.1.1 Soit E un espace vectoriel et {Ci}ici un
ensemble de E, si {Ci}ici est convexe, alors niEIC i est un ensemble
convexe.
Definition 1.1.27 Soit E un espace métrique, L'enveloppe
convexe de E est l'intersection de tout les ensembles convexes contenues dans
E, on le note par convE .
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