Plan de mémoire
On a structuré ce mémoire en quatre grands
chapitres :
Chapitre0l :
Dans ce premier chapitre on rassemble toutes les notions et
résultats de base que nous utiliserons par la suite.
Chapitre02 :
Ce chapitre traite les principaux théorèmes du
point fixe.
Section 2.1. traite la théorie métrique du point
fixe. En général ce ci inclut tous les résultats pour les
quels la structure métrique de l'espace fondamental et / ou des
propriétés métriques des problèmes a
résoudre. L'exemple le plus caractéristique d'un tel
résultat est le principe de la contraction du Banach. En fait plusieurs
des résultats dans ce sens sont des conséquences de ce
théorème. Essentiellement le théorème du point fixe
de Banach est une abstraction intelligente du bien connu de la théorie
de méthode différentiel d'équations d'approximations
successives. Nous présentons une généralisation du
théorème de Banach, nous examinons les applications nonexpansives
et nous présentons également le théorème de
Brinciari, qui est une généralisation profonde remarquable du
principe de contraction.
Dans section 2.2, nous examinons l'autre type des
théorèmes du point fixe, qui constituent la prétendue
"théorie topologique". Ou, les propriétés topologiques de
l'espace et /ou des problèmes a résoudre s'imposent. En
particulier la notion de la compacité est de base dans nos
considérations. Les théorèmes du point fixe de type
topologiques sont le théorème du point fixe de Brouwer et son
généralisation dimensionnelle infinie, le théorème
du point fixe de Schauder.
Chapitre03 :
Dans ce chapitre on étudiera un exemple. Nous
étudions l'application du point ffxe dans une famille de
problèmes d'évolutions de type hyperbolique
vi
Dans ce chapitre, nous allons rappeler les notions
essentielles, de même quelques résultats fondamentaux, qui
concernent les espaces métriques, topologiques, les espacesL (~) , les
espaces de Sobolev, espaces fonctionnelles et d'autres théorèmes
classiques. Ces notions et ces résultats représentent un outil
important pour l'étude de ce type de problème.
1.1 Espaces métriques, espaces topologiques
1.1.1 Norme, distance, topologie
Définition 1.1.1 Soit X un espace vectoriel réel,
une norme sur X est une application x '~p kxk de X dans II1+, telle
que :
(N1) kxk = 0 , x = 0.
(N2) AxM = jAj kxk , Vx 2 X, VA 2 II1.
(N3) x + yM < x + MyM ,Vx,y 2 X (inégalité
triangulaire ).
Définition 1.1.2 Soit X un espace vectoriel réel,
un espace normé est un couple (X, k.k) , oh k.k est une norme sur X.
Notation 1.1.1 On note par MxMx la norme de x dans X
.
Définition 1.1.3 Soit X un ensemble non vide. Une distance
sur X est une application
(x,y) i~p d(x,y)
de X x X dans II1+ telle que :
(131) d (x,y) = 0 '~i x = y.
(132) d (x,y) = d (y,x) ,Vx,y 2 X.
(133) d (x, y) < d (x, z) +d (y, z), Vx, y, z 2 X
(inégalité triangulaire).
Définition 1.1.4 Un espace métrique est un couple
(X, d), oh d est une distance sur X.
Définition 1.1.5 Soit (X, d) un espace métrique.
Pour x 2 X et r > 0, on définit : 1- La boule ouverte de centre x et
de rayon r est :
B (x,r) = {y 2 X, d(y,x) < r}. (1.1)
2-La boule fermée de centre x et rayon r est :
B (x,r) = {y 2 X, d (y,x) ~ r}. (1.2)
.
3-La sphere de centre x et rayon r est :
S (x,r) = {y 2 X, d(y,x) = r}. (1.3)
Définition 1.1.6 Soit (X, d) un espace métrique.
Par définition, une partie U de X un ouvert si pour tout x 2 U, il
existe un r > 0 tel que B (x,r) c U .
Definition 1.1.7 Soit (X, d) un espace métrique. Un
ensemble F C X est fermé si son complémentaire FC est
ouvert.
Proposition 1.1.1 On a
a) Pour tout x 2 X et r > 0, B (x,r) est un ouvert.
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Ub) Si Ui est un ouvert, Vi 2 I, alors
i El
|
U est un ouvert.
|
c) soit m 2 N*, si Ui est un ouvert, i = 1, .., m,
alors \n U est un ouvert.
i =1
Proposition 1.1.2 On a
a) Pour tout x 2 X et tout r > 0, B (x, r) est un
fermé.
b) Soit m 2 N*, si Ft un fermé, i = 1,..,m,
alors [n Fi est un fermé.
i =1
|
flc) Si Fi est un fermé, Vi 2 I, alors
i El
|
Fi est un fermé.
|
Definition 1.1.8 Soient E un ensemble quelconque et P (E) la
famille de toutes les parties de E . On dit qu'une sous famille r de P (E) est
une topologie sur E si elle satisfait les trois conditions suivantes :
(A1) E 2 T, 0 2 r.
(A2) -i- est stable par réunion (fini ou non)
c'est-à-dire :
|
U8 (cj), El c r :
|
ci 2 ji-. (1.4)
|
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.
|
i El
|
|
|
(A3) -r est stable par intersection finie c'est-à-dire
:
fl
8 (~j)i 2J C r :
j EJ
|
~i 2 ji-. (1.5)
|
Le couple (E, -r) s'appelle espace topologique. les
éléments de r sont dits ensembles ouverts de(E, r).
Definition 1.1.9 On appelle voisinage d'un point x de l'espace
topologique E tout sous ensemble de E contenant un ouvert contenant x et
noté V (x).
Definition 1.1.10 On appelle intérieur d'un sous ensemble
A de E , la réunion de tous les ouverts contenus dans A , autrement dit
le plus grand ouvert contenu dans A et noté A.
Definition 1.1.11 On appelle adhérence d'un sous ensemble
A de E , l'intersection de tous les fermés qui contient A, autrement dit
le plus petit fermé qui contient A et noté A.
Definition 1.1.12 La frontiêre d'un ensemble A de E est
l'ensemble des points x dont tout voisinage V contient au moins un point de A
et un point de Ac .C'est-à-dire
Fr (A) = A n Ac.
Definition 1.1.13 L'extérieur d'un sous ensemble A qui
noté Ex (A) est définie par
Ex(A) = ( ~A~c .
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