Raisonnement et méthodologie

b. Une troisième observation : « Gros Dédé »

J'ai proposé le problème bien connu de « Gros Dédé » lors d'une séance à effectif réduit. J'ai été agréablement surpris de la rapidité de raisonnement de nombreux élèves.

?Voici la production de F. une élève de la cinquième C :

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? Une autre élève, L. a raisonné ainsi :

Gros Dédé + chien = 145 kg

Gros Dédé+ Petit Francis = 151 kg

Petit Francis + chien Boudin = 42 kg

Petit Francis pèse 6 kg de plus que le chien Boudin car quand Gros Dédé est sur la balance avec

le chien, elle affiche 6 kg de moins que quand Gros Dédé y est avec Petit Francis

Quand le chien et Petit Francis sont sur la balance, elle affiche 42 kg

Etant donné que Petit Francis pèse 6 kg de plus que le chien, on les met de côté et on fait :

(42 - 6) : 2 = 36 : 2

= 18

On rajoute 6 à 18, ce qui donne 24, ce qui fait que Petit Francis pèse 24 kg et le chien 24 - 6 =

18 kg. Gros Dédé et le chien Boudin ensemble pèsent 145 kg

Donc 145 - 18 = 127 kg, le poids de Gros Dédé

Conclusion : Gros Dédé pèse 127 kg, Petit Francis pèse 24 kg, et le chien pèse 18 kg.

J'ai proposé ce problème à la fin de la séquence sur le calcul littéral. Par la suite, j'ai abordé la notion d'équation, mais sans prononcer le mot : j'ai juste évoqué la problématique qui consiste à tester si une égalité de type ax + b = cx + d est vraie pour différentes valeurs de x.

Une chose est certaine, et je ne parviens pas totalement à me l'expliquer, l'exercice du « Gros Dédé » a rencontré un grand succès, au point que les élèves m'en ont redemandé un autre du même type. Une élève, est allée jusqu'à me dire, que le fait, pour elle d'avoir été capable de résoudre le problème, lui avait fait « se sentir intelligente pour la première fois ».

c. Quatrième observation : un classique : démonstration avec les angles alternes-internes

Démontrer que la somme des angles de n'importe quel triangle est de 180 degrés.

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En début d'année, nous avions énoncé la propriété relative à la somme des angles d'un triangle. Cependant, à cette époque, je n'avais pas proposé la démonstration, du fait que nous n'avions pas encore abordé le concept des angles alternes-internes. Maintenant que ces notions ont été abordées, j'ai demandé aux élèves de rédiger la démonstration de la propriété. Les élèves travaillaient par groupes de 3 ou 4.

La démonstration attendue était la suivante :

J'avais délibérément choisi de ne pas faire figurer la droite (DE), parallèle à la droite (AB).

Se trouvant seuls face à un triangle, et ne voyant pas par où « attaquer » la démonstration, certains élèves se sont retrouvés dans l'impasse. Aussi ai-je entendu des observations telles que « Mais Monsieur, nous ne sommes pas des quatrième », « Depuis quand démontre-t-on des propriétés en cinquième ? ».

J'ai donc rajouté la droite (DE).

Cet ajout n'a pas véritablement débloqué la situation. Les élèves ne percevaient pas en quoi cet objet supplémentaire avait un rapport avec le triangle, et donc en quoi cela allait les aider.

J'ai alors évoqué plusieurs mots. D'abord le mot « raisonnement », puis le mot « alternes internes ». Et, cette fois, l'impulsion étant donnée, les élèves se sont majoritairement élancés vers des tentatives de résolution, c'est-à-dire qu'ils étaient en recherche mathématique. Mon objectif était atteint.

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En circulant entre les groupes, j'ai pu constater qu'un réel travail de recherche, certes pas toujours abouti ni toujours bien formalisé, était en marche. Beaucoup d'élèves avaient, de leur propre initiative, employé des codes couleur, ce qui m'a semblé très positif, car bien souvent la couleur facilite la perception du problème et permet donc d'amorcer un raisonnement.

J'ai alors conseillé à mes élèves de remettre leurs idées dans un ordre logique afin de construire une démonstration achevée.

C'est ma tutrice Florence Flury qui m'a conseillé le travail en groupe. C'est la première année que j'emploie cette modalité pédagogique, et je le trouve cela très efficace, à condition naturellement de veiller à constituer des groupes équilibrés, c'est-à-dire des groupes où chaque élève peut apporter sa pierre à l'édifice, sans qu'il n'y ait d'élève « spectateur ».

d. Cinquième observation : démontrer que la médiane coupe un triangle en deux triangles de mêmes aires

Après avoir abordé les hauteurs et les médianes dans la séquence sur les triangles, ainsi que les droites remarquables, je voulais apprécier la capacité des élèves à démontrer une propriété.

Voici le travail, fait en devoir-maison, par L. élève de cinquième C : (page 50)

La production de cette élève est intéressante car elle met en lumière une difficulté, une limite, rencontrée par beaucoup d'élèves. Cette élève éprouvait en effet le besoin de montrer la propriété dans un cas particulier, avec des valeurs numériques. N'osant s'aventurer sur le terrain de l'abstraction, du « cas général », elle restreignait considérablement la portée de sa démonstration, la ramenant en fait à la comparaison de deux valeurs numériques.

J'ai donc répondu à cette élève : « Ta conclusion est exacte pour les triangles que tu as choisis, mais est-ce que ce serait vrai pour n'importe quel triangle ? ». Ce à quoi l'élève m'a répondu : « J'ai toujours l'habitude de prendre des nombres pour calculer des aires, je ne sais pas faire autrement ».

Ceci m'a fait prendre conscience que les difficultés à raisonner peuvent être liées aux difficultés à passer du concret à l'abstrait, du particulier au général.

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e. Sixième observation : un élève a proposé une énigme à la classe

Comment extraire exactement 5 litres à l'aide de 3 seaux ?

Les premières réactions faisaient apparaître une certaine incrédulité :

« Monsieur, ce n'est pas des maths, ça ».

« Mais, c'est impossible, puisqu'il n'y a pas de seau de 5 litres ».

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Puis, certains élèves commençant à émettre des idées, à « attaquer » le problème, la classe entière s'est mise à chercher, et, au final, un élève (l'élève A.) a réussi.

« On remplit le seau de 3 litres on le verse dans celui de 7 litres et on refait la même chose donc on remet 3 litres dans celui de 7 litres ça fait qu'il y a 6 litres dans celui de 7 litres. On remplit ensuite celui de 7 litres avec le sceau de 3 litres ça fait que le seau de 7 litres est rempli et qu'il y a 2 litres dans le seau de 3 litres on les verse dans le seau de 10 litres puis on remplit le seau de 3 litres et on le verse dans le seau de 10 litres ce qui fera 5 litres. »

Je dois avouer que j'ai eu moi-même du mal à trouver la solution.

Mais, sitôt que l'élève A. a eu exposé sa solution, un autre élève s'est exclamé qu'il existait une autre manière d'obtenir 5 litres :

« On remplit le seau de 3 litres, et on le verse dans le seau de 10 litres. On recommence l'opération. Et on la recommence à nouveau. Le seau de 10 litres contient donc 9 litres d'eau. Ensuite on remplit le seau de 3 litres, et on le verse dans celui de 7 litres. Le seau de 7 litres contient donc 3 litres d'eau et 4 litres de vide. C'est alors que l'on prend le seau de 10 litres (qui contient 9 litres d'eau), et que l'on verse à ras bord dans celui de 7 litres. Résultat, il reste dans le seau de 10 litres 9-4=5litres. »

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