à‰conométrie financière. Une comparaison entre les données boursières et le chiffre d'affaires Paris.

3.22

^2.54

2.17

^3.78

3.11

^2.73

3.53

^2.79

2.38

²⁵⁰

3.19

^2.53

2.16

^3.74

3.09

^2.73

3.49

^2.79

2.38

⁵⁰⁰

3.18

^2.52

2.38

8

^3.18

2.52

^2.16

3.71

^3.08

2.72

^3.46

^2.78

2.38

Selon Brooks (2008), pour le test normal, on suppose que les résidus ne sont pas

autocorrélés, par contre, si on utilise n décalages de la variable dépendante on peut

supprimer le besoin de cette supposition. Cette « augmentation » du test s'appelle test de

Dickey Fuller augmenté (ADF), d'où I áiÄyt représente la somme des décalages :

2.16

^3.72

3.08

^2.72

3.48

^2.78

Äyt = øyt-1 + I áiÄyt-i + ut (7)

Il n'y a pas de consensus pour la définition du nombre optimal des décalages du test ADF. Brooks (2008) présente quelques règles empiriques, dont on va utiliser la définition du nombre optimal de décalages d'après la fréquence des données. Comme on travaille avec des données trimestrielles, on va utiliser quatre décalages pour notre test.

D'après Lardic et Mignon (2002), on peut apercevoir qu'on ne réalise pas le test sur les trois modèles, par contre on utilise une méthode séquentielle divisée en trois étapes. Premièrement, on prendre le modèle (3) et on teste la significativité de la tendance temporelle, si elle n'est pas significative on passe à l'étape suivante, en revanche, si elle est significative, on teste H0 pour savoir si la racine unitaire existe. En acceptant H0, la série va être non stationnaire (donc il faut la différencier et élaborer un nouveau test), mais si l'on n'accepte pas, la variable concerné est stationnaire et le travail avec la série va être possible.

La deuxième étape de la procédure, appliquée si la tendance n'a pas été significative, consiste en travailler avec le modèle (2) en testant la significativité de la constante. Si elle n'est pas significative on passe à la prochaine étape, mais si la constante est en fait significative on teste si l'hypothèse nulle sur l'existence de la racine unitaire est vraie, si l'on constate sa véracité, la série est non stationnaire, nous forçant à la différencier pour recommencer la méthode. En revanche, si H0 est rejetée, on peut commencer à travailler avec la série, parce qu'elle est stationnaire.

Dans la dernière étape, employée si la constante de la deuxième étape n'a pas été significative, on utilise le modèle (1) pour savoir si la racine unitaire est significative, d'après les valeurs critiques de Fuller. Avec l'acceptation de l'hypothèse nulle, la série va être non stationnaire, donc on a besoin de la différencier pour faire la procédure une autre fois, mais si l'on rejette l'hypothèse de l'existence de la racine unitaire on observe la stationnarité et on peut travailler sans aucune modification dans la série.

En résumé, on continue avec la procédure jusqu'au moment où on obtient une série stationnaire, même s'il faut qu'on la différencie une ou plusieurs fois. Il y a d'autres méthodes et tests pour observer la stationnarité des séries temporelles comme les méthodes d'analyse graphique, d'analyse de la fonction d'autocorrélation et d'autres tests de racine unitaire (comme le test de Phillips-Perron). On ne va pas utiliser la méthode d'analyse de la fonction d'autocorrélation (acf) ni d'autocorrélation partiel (pacf) parce que,

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d'après Brooks (2008) : »(...) although shocks to a unit root process will remain in the system indefinitely, the acf for a unit root process (a random walk) will often be seen to decay away very slowly to zero. Thus, such a process may be mistaken for a highly persistent but stationary process. Hence it is not possible to use the acf or pacf to determine whether a series is characterised by a unit root or not.» La méthode d'analyse graphique peut être utilisée en analysant si la série fluctue sur sa moyenne et si elle a une variance constante. Pour commodité on ne va pas réaliser d'autres tests de racine unitaire que le test de Dickey-Fuller.

Après le test de racine unitaire, si l'on atteste que les deux séries sont stationnaires on va utiliser la modélisation de MCO (moindres carrés ordinaire), où on va observer si les cours boursiers sont expliqués par le chiffre d'affaires de TOTAL SA en estimant les paramètres du modèle et en testant leur significations. Par contre, si les séries ne sont pas stationnaires, on ne peut pas estimer les paramètres du modèle par MCO parce que cela impliquerait à une régression fallacieuse (spurious regressions), d'après Brooks (2008), les suppositions standard pour l'analyse asymptotique ne seront pas valide, les séries non stationnaires ont des comportements et propriétés différents des séries stationnaires.

Dans le cas où les séries ne sont pas stationnaires, il faut qu'on teste si les séries ont une relation de long terme entre eux, autrement dit, si les séries sont cointégrées. Pour savoir si les séries sont cointégrées on va tester la cointégration à partir du test d'Engle-Granger.

La définition de cointégration viens d'Engle et Granger (1987), d'après Brooks (2008): "a set of variables is defined as cointegrated if a linear combination of them is stationary". Selon Lardic et Mignon (2002), avec deux séries intégrées d'ordre (d), si la combinaison linéaire entre elles gt :

gt = Xt - aYt (8)

est d'ordre (d-v), où v est un nombre entier positif, donc les séries vont être cointégrées. Dans les séries financières, le cas le plus fréquent est quand d = v = 1.

Avant de tester la cointégration, nous tenons d'abord à expliciter les modèles à correction d'erreur, ou Error Correction Model (ECM) introduits par Hendry (1978) qui cherchent à estimer un équilibre de long terme. Comme des modèles de première différence pures n'ont pas de solution de long terme, on peut utiliser des modèles avec une combinaison entre les séries différenciées de premier ordre et les niveaux décalés des variables cointégrées qui peuvent résoudre ce problème, cela est l'intuition des modèles à correction d'erreur.

D'après Brooks (2008), on a le modèle à correction d'erreur :

Äyt = â1Äxt + â2(yt?1 ? ã xt?1) + ut (9)

où yt-1 - ã xt?1 est connu comme le terme à correction d'erreur. À condition que yt et xt sont cointégrées avec le coefficient de cointégration ã, le terme à correction d'erreur va être stationnaire, même si ses composants sont intégrées à ordre un. Autrement dit, il faut que les résidus du modèle de MCO entre yt et xt soient stationnaires (yt?1 ? ã xt?1 est équivalent aux résidus décalés en un période).

Le modèle à correction d'erreur rendre possible l'estimation par MCO par inférence statistique. Une interprétation intuitive du modèle, donnée par Brooks (2008), est la

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suivante : la variable y est censé à changer entre t -1 et t en raison des changements dans les valeurs de la variable explicative, x, entre t - 1 et t, et aussi en partie à corriger tout déséquilibre qui existait pendant la période précédente ; ã décrirait la relation de long terme entre x et y, 81 la relation de court terme et 82 la vitesse d'ajustement jusqu'au équilibre.

Comme le terme à correction d'erreur est équivalent aux résidus décalés du modèle de MCO, pour savoir si les variables sont cointégrées entre eux ont va utiliser le test de Engle-Granger. Si la vraie valeur de 8 est connue, d'après Wooldridge (2008), pour tester la cointégration: "(...) we simply define a new variable, st yt xt, and apply either the usual DF or augmented DF test to {st}. If we reject a unit root in {st} in favor of the I(0) alternative, then we find that yt and xt are cointegrated." Comme intuition, on peut interpréter st comme s'il représentait les résidus d'une régression simple sans constante.

Par contre, si on ne connait pas la vraie valeur de 8, on va l'estimer avec un modèle de MCO avec constante. Après l'estimation, les résidus du modèle vont être pris en compte à fin de faire un test de stationnarité. On peut utiliser le test de Dickey-Fuller augmenté comme test de racine unitaire, par contre, comme ici on travaille avec des résidus, on va utiliser les valeurs critiques d'Engle et Yoo (1987), qui est connu comme le test d'Engle-Granger :

Tableau 3 : Valeurs critiques d'Engle et Yoo

	^Taille	^1%	^5%	^10%
^N=2	^50	^-4.12	^-3.29	^-2.90
	^100	^-3.73	^-3.17
	^200	^-3.78	^-3.25
^N=3	^50	^-4.45	^-3.75
	^100	^-4.22	^-3.62
	^200	^-4.34	^-3.78

^{-2.91 -2.98 -3.36 -3.32 -3.51}

^N=4

⁵⁰

^-4.61

^-3.98

^-3.67

¹⁰⁰

^-4.61

^-4.02

^-3.71

²⁰⁰

^-4.72

^-4.13

^-3.83

^N=5

⁵⁰

^-4.80

^-4.15

^-3.85

¹⁰⁰

^-4.98

^-4.36

^-4.06

²⁰⁰

^-4.97

^-4.43

^-4.14

Afin d'éliminer des problèmes éventuelles de saisonnalité et rendre possible la

modélisation du ECM (même si les séries n'ont pas de racine unitaire), on va ajouter des

variables dummies. Comme on travaille avec des données trimestriels, on va utiliser trois

variables dummies, une pour chaque trimestre, la dernière sera liée à la constante et pour

cela n'entre pas comme dummy.

Si après le test d'Engle-Granger les résidus sont stationnaires, alors les variables sont

cointégrées entre elles et on peut estimer le modèle à correction d'erreur. En revanche, si

les résidus ne sont pas stationnaires, les variables ne sont pas cointégrées entre elles (on ne

peut pas estimer une relation de long terme par l'ECM), dans ce cas, on peut chercher une

relation de court terme entre les variables dépendantes et indépendantes en estimant un

modèle de MCO avec les variables stationnarisées.

La dernière étape consiste en regarder la signification des variables et le pouvoir

explicatif du modèle. Pour la signification, on réalise un test de student pour chaque variable

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indépendante de l'ECM ou de la relation à court terme. Ensuite, pour le pouvoir explicatif du modèle, on prend les valeurs R² et R² ajusté (la valeur ajustée est préférable si on compare plusieurs modèles).

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