Apport des mathématiques dans la compréhension des phénomènes économiques (Approche sur la theorie de la demande)

b. Modèles de choix du consommateur

 Modèle de choix à deux dimensions du consommateur

Lorsqu'on étudie le modèle néoclassique du choix du consommateur, dans les cours de la théorie microéconomique élémentaire, on suppose généralement que le consommateur ne peut choisir qu'entre deux biens.

Pour illustration, supposons de places de cinéma et de places de théâtre.

Soit x₁ une variable représentant le nombre de places de cinéma achetées par un consommateur et soit x₂ une variable représentant le nombre de places de théâtre achetées. Le couple (x₁, x₂) représente le choix d'une quantité pour les deux biens et s'appelle un « panier de biens ». Si nous supposons que x₁ et x₂ peuvent prendre n'importe quelles valeurs non négatives, alors l'ensemble de tous les paniers de biens possibles peut être représenté géométriquement par le quadrant « l'espace des biens ».

Sur la figure 1.1, le nombre de places de cinéma dans un panier de biens est mesuré sur l'axe horizontal, tandis que celui de places de théâtre est mesuré sur l'axe vertical.

Y1

Figure 1.1

Deux paniers de biens dans l'espace des biens

X1

Les consommateurs ont des préférences par rapport à des paniers de biens dans l'espace des biens : étant donnés deux paniers de biens quelconques, soit le consommateur préfère un panier à l'autre, soit il est indifférent entre les deux. Si les préférences du consommateurs satisfont quelques hypothèses de cohérence, elles peuvent alors être représentées par une fonction d'utilité si le consommateur préfère le panier de biens (x₁, x₂) au panier de biens (y₁, y₂), alors, la fonction d'utilité prend une valeur plus grande en (x₁, x₂) qu'en (y₁, y₂). Ainsi, on pourra écrire U(x₁, x₂) le nombre associé par la fonction d'utilité au panier (x₁, x₂₎

Généralement, cette situation est représentée en traçant quelques courbes d'indifférence du consommateur dans l'espace des biens, comme le montre la figure 1.2.

Y

U = 10

U = 6

U = 1

X

Figure 1.2

Courbes d'indifférence dans l'espace des biens

La fonction d'utilité associe le même nombre à tous les paniers situés sur une même courbe d'indifférence. En d'autre terme, le consommateur est indifférent en deux paniers de biens situés sur une même courbe.

La flèche sur la figure 1.2. indique la direction de préférences. Les paniers de biens sur les courbes d'indifférences situées loin de l'origine sont préférés aux paniers de biens qui sont sur des courbes d'indifférence situées près de l'origine, pour indiquer que ce consommateur préfère « plus » à « moins ».

Cette représentation des préférences du consommateur est utilisée pour décrire le choix du

consommateur. Ainsi, un consommateur, devant un ensemble de paniers de biens, son choix

visera à maximiser sa fonction d'utilité sur l'ensemble. Ce problème est de nature

mathématique s'intéressent aux choix qui concernent les marchés. Nous décrivons cette

situation de choix comme suit :

A chaque bien est associé un prix, p1 pour le prix des places de cinéma et p2 celui des places de théâtre. Le consommateur dispose de M francs à repartir entre les deux biens et il ne peut pas dépenser plus qu'il n'en a.

D

C

u

0

A

Figure 1.3

L'ensemble budgétaire OAD et quelques courbes d'indifférence

Le coût du panier de biens (x1, x2) est p1x1 + p2x2. Ce coût ne peut pas excéder M. Notre théorie a besoin de s'appliquer seulement aux ensembles de choix de la forme.

B = [(x1nx2) : x₁ = 0, x₂ = 0, (p₁x₁ + p₂x₂) = M]

Ce sont les ensembles budgétaires auxquels le consommateur peut faire face théoriquement. Les ensembles budgétaires sont faciles à visualiser. Dans l'espace des biens, traçons le segment de droite donnée par l'équation p₁x₁ + p₂x₂ = M. Tous les points qui se trouvent sur ou sous cette droite sont accessibles financièrement. Ce sont les points situés dans le triangle OAD de la figure 1.3.

 Modèle de choix multidimensionnel du consommateur

Dans notre approche géométrique, nous ne pouvons répondre à aucune de ces questions. Nous devons nous tourner vers d'autres outils mathématiques.

Notamment, les fonctions de plusieurs variables et l'algèbre matricielle. Pour le faire, il faudra que nous posions le problème de façon analytique. Supposons que dans l'économie que nous modélisons, il y a n biens. Les paniers de biens sont à présent des listes (x₁, x₂, ..., x_n) et une fonction d'utilité associé un nombre U(x₁, ..., x_n) à chaque liste (x₁, ..., x_n). Le problème de maximisation du consommateur peut s'énoncer de la façon suivante :

Maximisation U(x₁, ..., x_n)

Sous les contraintes p₁x₁ + p₂x₂ + ... + p_nx_n = M,

X₁ = 0, ... ) xn = 0

Le système d'équations mathématiques qu'on peut utiliser pour décrire les conditions de «tangence» lorsqu'il y a n, inconnues au lieu de 2 est complexe. Il contient (2n + 1) équations différentes et (2n + 1) inconnues. L'étude de toutes ces questions se réduit à l'étude de ce système d'équation.