4. Maximum - Minimum
La fonction y = f(x) admet le point A (xo,
yo) comme :
· Maximum si y'o = 0 et y' change de signe
(c'est-à-dire de + à -)
x -8 xo +8
-y' + + + 0 - - - -
yo
Max
y' est la dérivée première de y
· Minimum si y'o = 0 et y' change de signe de
- à +
yo
x -8 xo +8
y' - - - 0 + + +
Dans la théorie de la demande, les
« maximum » et « minimum »
correspondent au niveau maximal et minimal de la demande de part une fonction
de demande.
5. Croissance et
décroissance
Une fonction y = f(x) est :
- croissante dans un intervalle [a, b] si y' > 0 en chacun
de ses points
- décroissante dans un intervalle [a, b] si y' < 0
en chacun de ses points
Dans la théorie de la demande, nous verrons sur la
fonction dans quelle intervalle la demande est croissante et dans laquelle elle
est décroissante (par intervalle entendons les niveaux des prix ou
revenu).
6. Concavité
- la concavité de la courbe est tournées vers
les y positifs (c'est-à-dire vers le haut) si y'' > 0
- elle est tournée vers le bas ou vers les y
négatifs si y'' < a.
y'' est la dérivée seconde de y.
7. Point d'inflexion
Le point d'inflexion est le point d'une courbe où la
courbe change d'allure (de signe), concavité tournée vers le haut
d'un côté et vers le bas d'un autre côté.
A (xo, yo) est un point d'inflexion pour
la courbe y = f(x) si y'' = o et change de signe en x = xo.
II.1.5. Applications
économiques
Nous allons appliquer dans ce point, l'étude d'une
fonction pour une fonction de demande.
p + 1
p
Dans un marché, l'évolution de la demande q d'un
bien par rapport au prix p est exprimé par la fonction q = Etudions
cette fonction.
a. Domaine de définition
N(x)
D(x)
q étant une fonction rationnelle de la forme fx =
Domf f = R\[x\D(x) = 0]
p + 1
p
d'où q= Domf q = R\p=0 ou R\[0] = ]-8,0[ U ]0, +8
[
Ceci signifie que la quantité demandée
est définie à tout prix outre que O. O représentant
l'origine d'un marché où aucun prix n'est fixé et le bien
est supposé livré gratuitement. D'où la demande est
infinie.
b. Continuité
Dans la théorie de la demande, la
continuité d'une fonction nous permet de voir chaque fois si à un
prix fixé, la demande s'arrêtera ou pas.
Si nous prenons le prix p =2 ;
q(2) = lim q
p =>2
2 + 1
2
q (2) = = 1,5
2 + 1
2
lim q = = 1,5
p =>2
D'où, au niveau du prix équivalent à 2,
la demande continue.
c. Maximum - minimum
Etudions d'abord, la dérivée première de
cette fonction, q' :
- 1
p²
p - (p+1)
p²
(1'.p - p' (p+1)
p
(p + 1)'
p
* q' = = = =
1
p²
* q' = 0 ==> ==> 1 = 0 (indétermination)
Etude des signes de q' :
p -8 0 +8
-1 - - - - - - - - - - - - -
p² - - - 0 + + +
q' + + + // - - -
Cette fonction n'admet ni des demande et prix
maximales ni minimales.
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