Apport des mathématiques dans la compréhension des phénomènes économiques (Approche sur la theorie de la demande)

4. Maximum - Minimum

La fonction y = f(x) admet le point A (x_o, y_o) comme :

· Maximum si y'_o = 0 et y' change de signe (c'est-à-dire de + à -)

x -8 x_o +8

-y' + + + 0 - - - -

y_o

Max

y' est la dérivée première de y

· Minimum si y'_o = 0 et y' change de signe de - à +

y_o

x -8 x_o +8

y' - - - 0 + + +

Dans la théorie de la demande, les « maximum » et « minimum » correspondent au niveau maximal et minimal de la demande de part une fonction de demande.

5. Croissance et décroissance

Une fonction y = f(x) est :

- croissante dans un intervalle [a, b] si y' > 0 en chacun de ses points

- décroissante dans un intervalle [a, b] si y' < 0 en chacun de ses points

Dans la théorie de la demande, nous verrons sur la fonction dans quelle intervalle la demande est croissante et dans laquelle elle est décroissante (par intervalle entendons les niveaux des prix ou revenu).

6. Concavité

- la concavité de la courbe est tournées vers les y positifs (c'est-à-dire vers le haut) si y'' > 0

- elle est tournée vers le bas ou vers les y négatifs si y'' < a.

y'' est la dérivée seconde de y.

7. Point d'inflexion

Le point d'inflexion est le point d'une courbe où la courbe change d'allure (de signe), concavité tournée vers le haut d'un côté et vers le bas d'un autre côté.

A (x_o, y_o) est un point d'inflexion pour la courbe y = f(x) si y'' = o et change de signe en x = x_o.

II.1.5. Applications économiques

Nous allons appliquer dans ce point, l'étude d'une fonction pour une fonction de demande.

p + 1

p

Dans un marché, l'évolution de la demande q d'un bien par rapport au prix p est exprimé par la fonction q = Etudions cette fonction.

a. Domaine de définition

N(x)

D(x)

q étant une fonction rationnelle de la forme fx = Domf f = R\[x\D(x) = 0]

p + 1

p

d'où q= Domf q = R\p=0 ou R\[0] = ]-8,0[ U ]0, +8 [

Ceci signifie que la quantité demandée est définie à tout prix outre que O. O représentant l'origine d'un marché où aucun prix n'est fixé et le bien est supposé livré gratuitement. D'où la demande est infinie.

b. Continuité

Dans la théorie de la demande, la continuité d'une fonction nous permet de voir chaque fois si à un prix fixé, la demande s'arrêtera ou pas.

Si nous prenons le prix p =2 ;

q(2) = lim q

^p =>2

2 + 1

2

q (2) = = 1,5

2 + 1

2

lim q = = 1,5

^p =>2

D'où, au niveau du prix équivalent à 2, la demande continue.

c. Maximum - minimum

Etudions d'abord, la dérivée première de cette fonction, q' :

- 1

p²

p - (p+1)

p²

(1'.p - p' (p+1)

p

(p + 1)'

p

* q' = = = =

1

p²

* q' = 0 ==> ==> 1 = 0 (indétermination)

Etude des signes de q' :

p -8 0 +8

-1 - - - - - - - - - - - - -

p² - - - 0 + + +

q' + + + // - - -

Cette fonction n'admet ni des demande et prix maximales ni minimales.