Les déterminants de la qualité de l'habitat à Kinshasa. Approche par le modèle Biprobit (Probit Bivarié)

2.1.5. Spécification du modèle

Les modèles de régression logistique permettent d'ajuster une surface de régression à des données lorsque la variable de régression est dichotomique^45(*). L'objectif de ces modèles consiste alors à expliquer la réalisation d'un événement considéré en fonction d'un certain nombre de caractéristiques observées pour les individus de l'échantillon.

Supposons un échantillon de N individus indicés i = 1, ..., N. Pour chaque individu, on observe si un certain événement s'est réalisé et l'on note Y_i la variable codée associée à événement. On pose,

(1)

On remarque ici le choix du codage (0,1) qui est traditionnellement retenu pour les modèles dichotomiques. En effet, celui-ci permet définir la probabilité de la réalisation de l'événement comme l'espérance de la variable codée Y_i, puisque :

E (Y_i) = Prob (Y_i = 1) × 1 + Prob (Y_i = 0) ×0 = Prob (Y_i = 1) = p_i (2)

Les modèles logistiques permettent ainsi d'expliquer (et de calculer) la probabilité de remplir les critères de la qualité de l'habitat quand les valeurs des caractéristiques individuelles X sont connues. La probabilité que Y_i = 1 (remplir les critères de la qualité de l'habitat) connaissant les caractéristiques individuelles X_1i, ..., X_ki, s'écrit :

(3)

où la fonction F(.) désigne une fonction de répartition dont le choix est à priori non contraint.

Toutefois, on utilise généralement deux types de fonctions : la fonction de répartition de la loi logistique et la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. À chacune de ces fonctions correspond un nom attribué au modèle ainsi obtenu : modèle Logit et modèle Probit^46(*).

A) LE MODELE PROBIT

1°) Présentation du modèle Probit

Soit le modèle (4), où est une variable latente, c'est-à-dire qu'elle est inobservable comme la propension à satisfaire l'indicateur de la qualité de l'habitat. Néanmoins, nous pouvons observer le comportement de l'individu qui a satisfait l'indicateur de la qualité de l'habitat.

Dans un modèle Probit, on suppose que la fonction de répartition F est une loi normale. On note la fonction de répartition et ö la fonction de densité de la loi normale centrée réduite N(0,1). Ainsi, la probabilité P_i est définie de la manière suivante :

, avec (5)

2°) Estimation du modèle Probit

Dans le cas des modèles dichotomiques, plusieurs méthodes d'estimation sont envisageables : il s'agit des méthodes paramétriques (Moindres Carrés Non Linéaires, Maximum de Vraisemblance) et non paramétriques (Méthodes du Score Maximum, Méthode Semi - Paramétrique). La méthode d'estimation utilisée dans ce travail est la méthode du maximum de vraisemblance parce qu'elle fournit des meilleurs estimateurs lorsque la loi des perturbations est connue. Ces estimateurs sont dérivés de la manière suivante :

Soit notre échantillon de N individus indicés i = 1, .., N. Pour chaque individu, on observe si un certain événement s'est réalisé et l'on note y_i la variable codée associée à événement. On pose :

(6)

où , désigne un vecteur de caractéristiques observables et où

est un vecteur de paramètres inconnus.

La fonction de vraisemblance associée à l'observation y_i s'écrit comme le produit des probabilités et est donnée par l'expression suivante :

(7)

Par ailleurs, la vraisemblance associée à l'échantillon de taille N est donnée par l'expression suivante (8), dans laquelle on substitut y_i par ses valeurs telles que renseignées dans l'expression (6).

(8)

De l'expression (6), on déduit la log-vraisemblance. Elle est simplement égale à la dérivée de la fonction de vraisemblance.

(9)

En distinguant les observations y_i=1 et celles pour lesquelles y_i=0, la log-vraisemblance peut s'écrire sous la forme :

(10)

Le vecteur des paramètres â est obtenu en maximisant soit la fonction de vraisemblance L(y, â) soit la fonction de log-vraisemblance log L(y, â). En dérivant la log-vraisemblance par rapport aux éléments du vecteur â, on obtient un vecteur de dérivées G(â) appelé vecteur du gradient.

(11)

(12)

Où f (.) est la fonction de densité associée à F (.) et où désigne la transposée du vecteur x_i.

En mettant l'expression (12) au même dénominateur, on obtient alors :

(13)

En outre, on peut aussi exprimer le gradient en distinguant les observations y_i=1 et celles pour lesquelles y_i=0 de sorte qu'on aie l'expression suivante :

(14)

Pour obtenir l'estimateur du maximum de vraisemblance, on doit résoudre le système d'équations non linéaire suivant :

(15)

En remplaçant F par et f par ö, le système devient :

(16)

La probabilité estimée pour chaque individu est donnée par

(17)

avec le vecteur de paramètres du modèle Probit estimé par la méthode du maximum de vraisemblance

* ⁴⁵ HOWEL C. David, Méthodes statistiques en sciences humaines, De Boeck, Paris, 1998, p. 615

* ⁴⁶ Le mot Probit est simplement une forme contractée de l'expression anglaise probability unit.