CHAPITRE 2 : TESTS DE VALIDATION DE LA COURBE DE
MORTALITE
2.1- Aperçu graphique des courbes brutes et
lissées de mortalité
Après l'utilisation des différentes
méthodes de lissage, ce chapitre nous permettra de savoir si les
données collectées pour la construction de la table de
mortalité sont compatibles avec les différents types de lissage
utilisés. Nous proposons trois types de contrôles. La
première est consacrée aux contrôles de cohérence
des quotients. La deuxième permettant d' évaluer la
régularité de la courbe de mortalité et la
proximité entre les quotients estimés et la mortalité
observée sur le portefeuille.
Nous obtenons le graphique suivant :
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
âge des assurés
qx bruts qx lissés
Graphique 8 : quotients bruts et lissés
selon le modèle choisi ;
Source : nos calculs
Sur l'ensemble de la courbe, l'adéquation est presque
parfaite. C'est surtout après 60 ans que l'on observe une forte
variabilité des quotients de mortalité. C'est à partir de
cet âge que le nombre d'assurés baisse, et ce de façon
importante. Pour les âges compris entre 80 et 89 ans, la
variabilité est beaucoup plus importante, ce qui rend le lissage plus
difficile. Afin de mesurer la régularité de la courbe obtenue,
nous allons effectuer une série de tests de régularité et
de fidélité aux quotients bruts.
2.2-Critères de régularité et de
fidélité
2.2.1- Le test du Khi Deux
Le test du khi-deux est un test classique pour mesurer la
qualité d'un ajustement et de vérifier s'il faut le rejeter ou
non.
On calcule ²Obs = ( )
xN D Pq
x x x
-
~ * , où Dx est le nombre de décès
correspondant à Px
²
xxxxx= -
1 (1)
Pqq * personnes exposées au risque de
sinistre. Cette variable suit une loi du khi-deux dont le
a et le niveau de
nombre de degrés de liberté est égal au
nombre de taux ajustés (xN -x1 +1) moins le nombre de paramètres
estimés (2 pour Gompertz et Weibull).
La région critique de ce test st alors donnée par
P( ² > ² Obs ) =
signification est égal à P(
² < ² Obs).
Plus le niveau de signification sera proche de 0 et plus la
probabilité que les écarts entre les taux lissés et les
taux bruts ne soient pas dus au hasard sera forte. Ainsi donc, l'ajustement
sera à rejeter.
Inversement, plus le niveau de signification sera proche de 1 et
plus l'ajustement pourra être considéré de bonne
qualité.
2.2.2-Mesure de la qualité de
l'ajustement
Il s'agit maintenant de vérifier la qualité de
l'ajustement par l'application de tests de validité. En effet,
l'ajustement introduit des écarts par rapport aux chiffres
observés. Ceux-ci peuvent être expliqués par le
caractère aléatoire des données ou par autre chose.
Certains critères nous aideront, par une mesure globale
des erreurs, la probabilité pour que la loi d'ajustement soit à
rejeter, c'est à dire que la probabilité pour que les
écarts ne soient pas seulement dus au hasard.
a) Critères de fidélité aux taux
bruts
Un des critères pour un ajustement de bonne
qualité est la fidélité aux taux bruts de
mortalité.
2 --, 0
xN
S'il y a fidélité entre les taux bruts et les taux
lissés alors ~ ()
qx qx
- à
xx
=1
Ce critère ne permet pas de rejeter l' ajustement mais
donne rapidement une bonne idée de la qualité de celui-ci. En
effet, plus il sera proche de zéro plus le lissage est
régulier.
b) Critère de régularité des taux
lissés Un autre critère est la régularité
des taux lissés, en notant V1,....Vn les valeurs ajustées,
nous
n - z
|
pourrons dire qu'il y a régularité des taux
lissés si ~ ()
AzVi
|
2 --, 0.
|
i=1
xN 1 xN 2
|
C'est-à-dire pour z =1, si ~ ()
qx qx
- à
|
2 --, 0 ou pour z = 2, si ~ ()
qxqxqx
-+++
212
|
2 --, 0
|
|
xx
=
|
1
|
xx
=
|
1
|
Là non plus ce critère ne permet pas de rejeter
l'ajustement mais donne une appréciation de sa qualité car plus
il sera proche de 0 et meilleur sera le lissage.
| 
