Elaboration d'une table de mortalité spécifique au régime d'assurance vieillesse de la CNPS

PARTIE III : AJUSTEMENT DE LA TABLE D'EXPERIENCE

CHAPITRE 1 : LISSAGE DE LA COURBE DE MORTALITE

1.1-Régression à l'aide des quotients de mortalité

L'objet de cette partie est de lisser la série de quotients bruts obtenus dans la partie précédente. De nombreuses lois statistiques existent pour ce type de lissage.

Pour notre étude, deux lois seront utilisées pour l'estimation des quotients de mortalité, les lois de Gompertz et de Weibull.

On ne va pas ajuster les paramètres de ces lois sur l' intervalle d' observation car les données aux âges extrêmes ne sont pas suffisantes et pourraient nuire à la qualité des ajustements, On prendra donc l'intervalle d'âge qui permet d'observer la meilleure tendance.

18%

16%

14%

12%

10%

8%

6%

4%

2%

0%

âge

quot mort

Graphique 6 : courbe des quotients bruts de mortalité ;
Source : nos calculs

Les résultats obtenus sont assez stables de 22 à 60 ans en raison d' effectifs suffisamment importants pour être fiables. La baisse du nombre de retraités sous l'effet de la mortalité aux grands âges accroit la variabilité des quotients de mortalité à partir de 80 ans. Nous pouvons considérer dans l' ensemble une croissance presque régulière selon l' âge.

1.2-Les résultats obtenus à l'aide des différents modèles

Avant d'opter pour le choix de scinder notre analyse sur deux plages d'âge, nous avions effectué une régression sur toute la plage concernée avec les lois de Gompertz et de Weibull. Nous avons obtenu de mauvais résultats et des khi deux largement supérieurs au seuil prescrit (250,56 et 294,19 pour un seuil tolérable de 85,96). Afin de voir la régression relative à cette option, le graphique est disponible à l'annexe 6.

1.2.1-Les résultats avec le modèle de Gompertz

La loi de Gompertz se traduit mathématiquement par la formule : ux =BC^x avec B>0, C>1

En utilisant le logarithme népérien, nous obtenons :

ln ux =ln(B) +x ln(C) + ~x avec ~x ~ N(0,a)

· de 22 ans à 60 ans, nous obtenons :

ln(B) = -7,41034577 soit B = 6,0496.10^-4

ln(C) = 0,04038693, soit C = 1,04852

Les indicateurs relatifs à cette régression sont disponibles ci-dessous :

Variable	coefficient	Erreur-type		p-value	ln (B)
-7,4103458	0,04400658	0,000		ln (C)
0,04038693	0,00103504	0,000

R^2	0,98265266	F- Statistic		2095,8922	R^2 ajusté
0,98218381	Prob(F Stat)	0,000		SCE
11,092073	Erreur-type	0,07274814		SCR
0,19581481	Akaike	-5,1915835

Tableau 1 : résultats obtenus à l'aide du modèle de Gompertz de 22 à 60 ans
Source : nos estimations

Cette régression est relative à 39 tranches d' âge.

· De 60 à 89 ans, nous obtenons :

ln (B) = -9,97658694, soit B = 4,64754.10^-5 ln (C) = 0,0903653, soit C = 1,099526

Les indicateurs statistiques relatifs à cette régression sont :

Variable	coefficient	Erreur type		p-value	ln (B)
-9,9765869	0,16603562	0,000		ln (C)
0,0903653	0,00220016	0,000

R^2	0,98568912	F- Statistic		1859,676	R^2 ajusté
0,98515909	Prob(F Stat)	0,000		SCE
18,2743635	Erreur-type	0,09912938		SCR
0,26531914	Akaike	-4,5561867

Tableau 2 : résultats obtenus avec le modèle Gompertz de 61 à 89 ans
Source : nos estimations

Cette régression est relative à 29 tranches d' âge.

1.2.2 -Les résultats avec le modèle de Weibull

La loi de Weibull se traduit mathématiquement par la formule : ux = ax^b

En utilisant le logarithme népérien, nous obtenons :

ln ux = ln a + b ln x + ~x avec ~x ~ N(0,a)

· De 22 à 60 ans, nous obtenons :

ln a = -10,752679 soit a =2,1388.10^-5

b = 1,40775844

Les indicateurs statistiques relatifs à cette régression sont :

Variable	coefficient	erreur-type	p-value
ln (a)	-10,752679	0,25993253	0,000
b	1,4077584	0,07054724	0,000
R^2	0,94621031	F- Statistic	650,864
R^2 ajusté	0,94475654	Prob(F Stat)	0,000
SCE	10,6807159	erreur-type	0,128107
SCR	0,60717193	Akaike	-4,0599414

Tableau 3: résultats obtenus avec le modèle de Weibull de 22 à 60 ans
Source : nos estimations

· De 61 à 89 ans, nous obtenons :

ln a = -32,000205 soit a = 1,26616.10^-14 b = 6,75257786

Les différents indicateurs statistiques sont :

Variable	coefficient	erreur-type	p-value
ln (a)	-32,000205	0,5644324	0,000
b	6,75257786	0,1308779	0,000
R^2	0,99083732	F- Statistic	2919,7352
R^2 ajusté	0,99049796	Prob(F Stat)	0,000
SCE	18,369804	erreur-type	0,07931961
SCR	0,0062916	Akaike	-8,2979047

Tableau 4: résultats obtenus avec le modèle de Weibull de 61 à 89 ans
Source : nos estimations

1.2.3- Interprétation des différents résultats

En observant les résultats dans l'ensemble, nous avons une bonne adéquation entre les données et les différentes régressions observées. Nous avons choisi de scinder l'analyse de la régression sur deux plages d'âge à cause de la forme de la courbe de mortalité. En effet, entre 22 et 60 ans, la courbe augmente lente et s'accroît de façon exponentielle après. Concernant notre choix le modèle de Gompertz s'est avéré mieux adapté à la plage d'âge allant de 22 à 60 ans et le modèle de Weibull de 61 à 89 ans. Ce choix a été effectué en observant un ensemble de critères. Ce sont : le R^² ajusté, le SCR, la statistique de Fisher et le critère de Akaike. Un R^² ajusté et un SCR faibles permettent d' apprécier la qualité du modèle. Le test de Fisher permet de voir si les coefficients du modèle sont significatifs dans le cas d' une régression simple. Il permet également de déterminer touj ours dans les mêmes conditions le modèle idéal. Parmi les modèles que l' on compare, le meilleur d' entre eux est celui qui aura la plus grande statistique enregistrée. Elle est formulée mathématiquement par la formule :

1

SCE

F =

-

2)

SCR n

(

Cette statistique peut être également comparée au Fisher théorique à 1 et n-2 degrés de liberté afin d'évaluer la significativité globale du modèle. Si elle est supérieure, alors l'hypothèse nulle est rejetée, dans le cas contraire, elle est acceptée.

Le principe est pratiquement le même pour le critère d'Akaike. C'est une statistique qui se présente mathématiquement comme suit :

AIC = ln (

SCR) + 2 k avec :

n n

SCR : somme des carrés résiduels

n : nombre d'observations

k : nombre de variables explicatives

Pour l'utilisation de ce critère, on choisit le modèle qui a le « Akaike » le plus faible.

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

âge

qx bruts

qx Gompert qx Weibull

Graphique 7 : quotients bruts et quotients lissés selon Gompertz et Weibull
Source : nos calculs

Critères	Modèle de Gompertz	Modèle de Weibull
SCR	0,19581481	0,60717172
R^² ajusté	0,98218381	0,94475654
F	2095,8922	650,864
p-value	0,000	0,000
AIC	-5,1915835	-4,0599414

Tableau 5 : Critères de choix du modèle pour les âges allant de 22 à 60 ans.
Source : nos estimations

Nous avons ci-dessus le résultat des régressions effectuées. De 22 à 60 ans le test de Fisher et le critère de Akaike affichent respectivement pour le modèle de Gompertz des valeurs de 2095 et de -5,19 15 alors que pour celle de Weibull, nous avons des valeurs de 651 et de

-4,059. Le modèle retenu est celui de Gompertz.

Critères	Modèle de Gompertz	Modèle de Weibull
SCR	0,26531914	0,0062916
R^² ajusté	0,98568912	0,99049796
F	1859,676	2919,7352
p-value	0,000	0,000
AIC	-4,5561867	-8,2979047

Tableau 6 : Critères de choix du modèle pour les âges allant de 61 à 89 ans ;
Source : nos estimations

De 61 à 89 ans, le test et la statistique affichent les valeurs de 1859 et de -4,556 pour le modèle de Gompertz et 2919 puis -8,298 pour celui de Weibull. Le modèle retenu est celui de Weibull. Dans la partie suivante nous allons effectuer quelques tests d'adéquation afin d'attester de la validation de la nouvelle courbe obtenue.