Essai de modélisation de l'inflation en Algerie

Chapitre II

SERIES CHRONOLOGIQUES

Section 1 : NOTIONS FONDA MEN TALES

On appelle séries chronologique, une suite d'observations numériques, équidistantes et ordonnées dans le temps, appelée aussi série temporelle ou encore chronique.

Si X désigne le phénomène observé dans le temps, on note , la série

X1,X2,...,XN

chronologique associée.

Deux approches complémentaires permettent d'étudier les séries temporelles, l'une est traditionnelle et l 'autre dynamique.

1.1 APPROCHE TRADITIONNELLE :

Dans ce type d'approche, on fait l'hypothèse que la série chronologique est produite par des causes déterministes indépendants les unes des autres et un résidu que l'on

suppose aléatoire, on écrira : x t = ?_t + å t avec ? (.) : est une fonction déterministe du temps

å (.) : Le résidu considéré comme une erreur d'observation.

La partie déterministe met en évidence deux mouvements indépendants l'un de l'autre : le mouvement conjoncturel F (.) et le mouvement saisonnier S (.)

- F (.) s'écrit comme la somme de la tendance à moyen terme T (t) et du cycle C (t) (mouvement périodique, à long terme extra-annuel).

- Le mouvement saisonnier représente les fluctuations périodiques intraannuelles.

La donnée observée à la date t ou donnée brute d'une série chronologique peut donc, s'interpréter comme résultant de la superposition de mouvements donnant lieu à deux modèles éventuels : additif ou multiplicatif.

- Le modèle additif s'écrit sous la forme : Xt = Tt + St+ åt Le modèle multiplicatif s'écrit sous la forme : t = t × S t + å t

X T

T, S et : sont des causes indépendantes les unes des autres.

On fait souvent l'hypothèse que est aléatoire de loi gaussienne.

1.2 APPROCHE D YNAMIQUE :

En approche dynamique on fait l'hypothèse que la série chronologique X₁ ,X₂, . . ., X N

est une observation de longueur N d'un processus aléatoire (stochastique) X ={x _t ,t?T}

Dans ce qui suit, nous introduirons les notions essentielles que présente les processus aléatoires.

Section 2 : PROCESSUS ALEATOIRES

2.1 DEFINITION D 'UN PROCESS US STOCHASTIQUE :

On appelle processus stochastique toute famille de variables aléatoires noté : X = {xt, t ? T}, définie sur un même espace probabilisé (?, F, P) et à valeur dans E.

E est l'espace d'état du processus stochastique X = {xt, t ? T}

Dans la suite de l'exposé ; E = ~ et T = ~ le processus est alors réel en temps discret.

2.2 PROCESS US STA TIONNAIRE :

2.2.1 Stationnarité stricte :

Un processus X = {x _t , t ? Z } est dit strictement stationnaire si sa loi temporelle est invariante par translation dans le temps, c'est-à-dire, si pour tout ensemble d'instants (t₁, t₂,..., t_k) la distribution de Co^y (x _t ,x t -h) = ã(| h |),t ? Z est la même que celle

de (Xt1 + h, ..., Xtk + h) pour tout h? Z et k ? Z.

2.2.2 Stationnarité faible :

Le processus stochastique est stationnaire au second ordre si et
X={xt,t?Z}

seulement si, les moments d'ordre 2 (moyenne et variance) existent et vérifient :

· E(x) =ì , ou p. est une constante définie.

· E(x _t )<+8

2

· Var(xt)=ó 2

· E (å _t ) = ì,t ? Z. Tel que ã est la fonction d'autocovariance. Remarques :

- La stationnarité stricte implique la stationnarité faible, si et seulement si E(x t 2 )<+8

- Un processus gaussien faiblement stationnaire est aussi fortement stationnaire.

- On dira qu'une série chronologique est stationnaire si elle est la réalisation d'un processus stationnaire, ceci implique que la série ne comporte pas de tendance.

- Un exemple de processus stationnaire est le processus dit <<bruit blanc>> (en anglais <<white noise>>) å = {åt, t ? Z} vérifiant :

· E(å _t )=ì, t? Z

· Var(x _t )=ó,t? Z

2

Si E (å t) = 0_, le bruit blanc est dit centré et si les _t sont indépendants, le bruit bc est dit fort

lan(pur).

2.3 CARA CTERISTIQUE D 'UN PROCESS US STA TIONNAIRE AU SECOND ORDRE :

2.3.1 Fonction d'autocovariance :

Lã(h)est la fonction d'autocovariance définie sur comme suit :

a fonction Z
ã : Z?Z

h ? ã(h)=E{(xt-ì)(xt+h-ì)}

Cette fonction possède les propriétés suivantes :

- |ã(h)|=|ã(0)|,h? Z

- ã(h) =ã(0), h? Z (propriétés de symétrie), de plus elle est paire, définie positive.

2.3.2 Fonction d'autocorrélation simple:

La fonction d'autocorrélation partielle ñ(h) donne des informations sur la structure de dépendance du processus, cette fonction est définit par :

ñ : [-1, +1]

Z?

()()
hCovx _t x t h

,+

h _hã

?=

(⁰)

ã ó

= ñ() ²

2.3.3 Fonction d'autocorrélation partielle:

On appelle fonction d'autocorrélation partielle noté PACF (Partial Autocorrélation Function), les corrélations entre les différentes couples (xt, xt + 1), une fois retirés les liens transitant par les variables intermédiaires x t + h - i pour e

tout (0 < i < h) . Ell

est définit par :

- á1 Cor(t,t+)

= rxx1

-

)

áh=Corr(xt-PHxt,xt+h-PHx+

th

OH=SPAN{xs,t<s<t+h} ù

est le sous-espace vectoriel engendré par

{Xt + 1,..., 1} PHx, désigne

Xt + h - et la projection de X sur H.

2.4 LES OPERA TEURS LINEAIRES :

2.4.1 Les opérateurs de retard et d'avance :

· On appelle opérateur de retard associé à un processus {xt, t ? Z} l'opérateur défini par : Lxt = xt - 1 qui est linéaire c'est-à-dire :

L(axt + byt) = aLxt + bLyt est inversible (son inverse est L^-1)

· On appelle opérateur d'avance F associé à un processus {xt, t ? Z} l'opérateur défini par Fxt = xt -1

On a les propriétés suivantes :

1 - n xt=xt-nⁿttn

L_I Fx=x+

n n 2 - ?= ? áx () áLx j tj j t jj== 1 1

I -j

n n ? =? () áFxáx+ j t j j t j jj== 1 1

3 - L^°xt = xt I F^°xt = xt

2.4.2 Les opérateurs de différences :

On appelle opérateur de différence saisonnièreV^s l'opérateur définit comme suit : Vs = (1-L^s)

On définit l'opérateur V^d = (1-L) ^d (d? N) appliqué à _Xt, qui a pour but de rendre une série stationnaire.

2.5 MODELES DE PROCESS US ALEA TOIRES : 2.5.1 Processus autorégressif d'ordre p : AR (p)

On appelle processus autorégressif d'ordre p, un processus stationnaire {xt, t ? Z} qui explique la valeur de la variable a la période t comme la somme d'un terme aléatoire et une combinaison linéaire des p observations antérieurs de la chronique. Le modèle AR (p) s'écrit sous la forme :

xt=ö1xt-1+..+ö p xt- p ,t?Z avec

Ö L = -öL - -öpL où les ö1.. .öp sont des nombres réels et åt est un bruit

p ( ) 11 ... p

blanc.

2.5.2 Processus moyenne mobile d'ordre q : MA (q)

On appelle processus moyenne mobile d'ordre q, un processus stationnaire
{xt,t? Z} défini par :

xtt1t1...qtq,

= å +èå-++èå-t? Z avec

ÈL= + èL + + èqL oil è1.. .è q sont des réels et å_t est un bruit blanc, åt est un

q() 1 1... q

bruit blanc.

2.5.3 Processus autorégressif moyenne mobile d'ordre p, q : ARMA (p, q)

On appelle ARMA (p, q) toute combinaison d'un modèle AR (p) et MA (q). Il S 'exprime sous la forme :

xtxt..pxtpt1t1...qt

=ö-++ö-+å+èå-++èå-q

11

? Öp(L)xt = Èq(L) å oil les polynômes :

t

Ö L = -öL - -öpL et ()11... q

p ( ) 11... ^pÈqL=+ èL + + èqL sont respectivement de
degrés p et q ; ö1...öp et è1...èq sont des nombres réels et å_t est un bruit blanc. Remarque :

· Un processus AR est touj ours inversible, il est stationnaire si les racines de Ö p (L) sont à l'extérieur du cercle unitaire. 11...0(1)0

-öL--öL= ? ?-ì j L=

p j

p

Ces conditions de stationnarité se ramènent à | ìj | > 1pourj = 1ap

Un, processus MA est toujours stationnaire, il est inversible si les racines de Èq (L) sont à l'extérieur du cercle unitaire.

11...0(1)0

+èL++èL = ? ?-ìjL=

q j

q

Ces conditions de stationnarité se ramènent à | ìj | > 1pourj = 1 aq

· Les conditions de stationnarité et d'innascibilité d'un ARMA sont données par les conditions de stationnarité et d'inversibilité des processus MA et AR, ainsi que par les conditions d'identifiabilité (ie ; pas de racines communes pour les

polynômes Ö p (L) etÈq(L).

· L'intérêt de l'étude de fonctions d'autocorrélation (simple et partielle) estimée et de leurs représentation sous forme graphique est de pouvoir associe à une série observée un modèle théorique ARMA (p, q).

2.5.4 Processus moyenne mobile intégrée : ARIMA (p, d, q)

Un processus non stationnaire {xt, t ? Z} est dit de type ARIMA (p, d, q) s'il satisfait l'équation :

Ö q L - Lxt = ÈqLåt , t? Z,å t ~BB (0, ó²)

( )(1 )()

d

2.5.5 Processus autorégressif moyenne mobile saisonnier : SARMA

Il est possible de tenir compte de la saisonnalité des séries temporelles par le biais des processus SARMA, notés SARMA (p, q) (P, Q) _s définit comme suit :

ÖpLÖPLxt = ÈqLÈQLåt

()()()() s s

Soit encore :

(1...)(11...)

-öL--öpL-ösL --öpsLt

p s ps

1x

=-è--è-è--è å t

(1...)(11...)

q s qs

1LqLsLqs L

où P est l'ordre du processus AR saisonnier, Q l'ordre du processus MA saisonnier et s est la période de la saisonnalité (s=12 pour des séries mensuelles, s=4 pour des séries trimestrielles, ...).

2.5.6 Processus autorégressif moyenne mobile intégré saisonnier : SARIMA

Il est possible de définir des processus ARIMA saisonniers, notés SARIMA. Ainsi, un processus SARIMA (p, d, q) (P, D, Q) _s s'écrit :

ÖLÖL- L- Lxt = ÈqLÈQLåt

()()(1 )(1)()()

s d s d s
pP

Les lettres en minuscules (p, d, q) correspondent à la partie non saisonnière et les lettres en majuscules (P, D, Q) correspondent à la partie saisonnière.

L'exposant s correspond à la saisonnalité. On notera que la série X_t est différenciée d fois non saisonnièrement et D fois saisonnièrement.

2.6 COMPOSANTES DES SERIES TEMPORELLES :

Avant le traitement d'une série temporelle, il convient d'en étudier ses caractéristiques (son espérance, sa variance), si elle se trouve modifier dans le temps, la série est considérée non stationnaire.

L'analyse des séries temporelles permet de distinguer quatre types d'évolution dans le temps :

1- La tendance : note Tt

C'est un mouvement persistant dans un sens détermine pendant un intervalle de temps assez long, il traduit l'allure globale du phénomène qu'il soit à la baisse ou a la hausse. Ce mouvement est fonction du temps.

2- La composante cyclique : noté Ct

Cette composante décrit un mouvement a moyen terme caractérise a la fois par la périodicité et par la cyclicité, c'est-à-dire par la régularité de son amplitude comportant une phase croissante et une décroissante. Dans la plupart des travaux sur les séries temporelles, la tendance et le cycle sont regroupes en une seule composante appelée l' extra-saisonnalité Et.

3- La composante saisonnière : note St

Composante cyclique relativement régulière de période intra-annuelle et qui correspond souvent a des phénomènes de mode, de coutume, de climat...

4- La composante résiduelle : note Rt

Elle rassemble tout ce que les autres composantes n'ont pu expliquer du phénomène observe. Elle contient donc de nombreuses fluctuations, en particulier accidentelles, dont le caractère est exceptionnel et imprévisible (catastrophe naturelles, grèves, guerres...). Comme par hypothèse ce type d'événement est censé être corrige, le résidu présente- en général - une allure aléatoire plus ou moins stable autour de sa moyenne.