étude ab-initio des propriétés électroniques et optiques de couches minces à base de tio2.

3.2 Les équations du mouvement :

Un système contient N particules considérées comme étant des masses ponctuelles de masse m, ayant K énergie cinétique et V énergie potentielle alors les équations du mouvement sont :

Equation 2.2 ????? = ????

??????

Equation 2.1 ????? = - ????

??????

Avec H = K + V

On peut exprimer le mouvement des atomes grâce à l'équation fondamentale de la dynamique :

RFD: ? ???? = ???????? = ????

???????? Equation 2.4 ??????

Avec : Fi la force totale exercée mi : La masse atomique i

d²r_i

???? = dt2 : L'accélération

Cette force s'écrit :

Equation 2.5 ???? = - ????V ou ???? = ????

?????? + ??????? ??? + ????

??????

Chapitre II Méthodes de calcul et matériels

29 | P a g e

Pour décrire le systéme à N atomes en interaction la première équation (2.4) conduit à résoudre 3N l'équation différentielle à 2 ordres.

3.3 Algorithmes d'intégration numérique :

La résolution des équations du mouvement se fait de manière discrète en utilisant la méthode de différence finie. Une fois si on connait la vitesse et l'accélération de la particule, alors on peut calculer V et U pour t+?t avec ?t est le pas d'intégration.

On est besoin des algorithmes rapides et qui demandent un cout informatique faible et doit permettre l'utilisation de grands pas d'intégration ?t et satisfaire les lois de conservation d'énergie et de moment.

3.3.1 Algorithme Velocity Verlet :

L'algorithme Verlet a été développé par le physicien français Loup Verlet en 1967 [31], basé sur l'approche des différences finies pour résoudre les équations du mouvement. Il offre une bonne stabilité de calcul que la méthode d'Euler. La précision de ce algorithme est donné par ?t⁴N_t et le temps maximale écoulé par la simulation est donné par ?t N_t. Pour intégrer numériquement les équations différentielles, il est nécessaire de les discrétiser en temps.

Comme il est important que l'énergie de systéme soit conservée au cours de temps. L'algorithme de Verlet s'écrit sous forme de vitesse présentée par deux équations à l'aide d'un développement de Taylor :

Equation 2.6 (r+??? ) = r(t) + v(t) ?t+ ??(??(??))

???? ????? + ??????

??????

Equation 2.7 (r-??? ) = r(t) - v(t) ??t+ ??(??(??))

???? ????? - ??????

??????

L'équation (II.6) + (II.7) donnent :

Equation 2.8 (?? + ???) + (r-???) = 2r(t) + ??((????))

???? ?t^?? + ?

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Chapitre II

					Méthodes de calcul et matériels
La position :	???? (??	+ ???)	=	???? (??)	+ ???? (??) + ???? ???? (??)?????	Equation 2.9
La vitesse :	????(??	+???)	=	????(??)	+ ?? ?? ???[????(??) + ????(?? + ???)]	Equation 2.10

Maintenant on connait la position et la vitesse alors nous pouvons obtenir l'état de système au temps (t + ?t) + ?t. L'intégration complète des équations du mouvement suit un schéma à 4 étapes :

· Etape 1 : Evaluer les forces Fi(t) à partir des positions ri(t).

· Etape 2 : Calcul des nouvelles positions ri(t + ?t).

· Etape 3 : Evaluation des forces Fi (t+?t) à partir des positions ri (t+?t).
· Etape 4 : Calcul des vitesses Vi (t+?t).

Le pas du temps utilisé pour la simulation étant finie, cela peut induire des erreurs sur le calcul des postions et vitesses. Ces erreurs augmentent rapidement et le calcul peut diverger.