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A partir de quelles valeurs du skewness et du kurtosis, la Value-at-Risk de Cornish-Fisher est-elle préférable à la VaR normale?( Télécharger le fichier original )par Mehdi DRISSI BOUTAYBI Université de Bordeaux - Master Ingénierie des risques économiques et financiers 2016 |
Chapitre 3Résultats des simulations Monte-Carlo 3.1 loi stable ou distribution de Lévy tronquée > library(moments) > library(stabledist) > n=10000 > rt <- rstable(n, alpha = 2, beta = 0.999, gamma = 0.13341, delta = 0.19382, pm = 0) > skewness(rt) [1] -0.02227834 > kurtosis(rt) [1] 3.09295 > ################ hypothese nulle: distribution normale > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = -0.022278, z = -0.910080, p-value = 0.3628 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 3.0929, z = 1.8524, p-value = 0.06396 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 Après plusieurs simulations du test d'agostino et anscombe, il s'est avéréque pour la loi stable a un skewness et un kurtosis non significativement différent de 0. Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi de Lévy 18
On remarque que pour la loi de Lévy, toutes les pv sont supérieurs à 5%. La VaR de Cornish-Fisher n'est pas préférable à la VaR Normale, ce résultat était attendu puisque le test d'agostino et anscombe mentionne que la distribution est normale. 3.2 loi hyperbolique > library(GeneralizedHyperbolic) > library(moments) > n=10000 > rt <- rhyperb(n, mu = 0, delta = 1/2, alpha = 14, beta = 0) > skewness(rt) [1] -0.01627843 > kurtosis(rt) [1] 3.578481 > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt 19 skew = -0.016278, z = -0.665020, p-value = 0.506 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 3.5785, z = 9.2930, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 Selon le test d'agostino, le skewness est non significativement différent de 0, et on ne rejete pas H0. Le kurtosis tant à lui est significativement différent de 0, il reste néanmoins proche de 3 (Kurtosis 3.3), il y a un leger excès de kurtosis positif. Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi hyperbolique
* Toutes les pv du test de Kupiec sont supérieur à 5 %, par conséquent on ne peut rejeter l'hypothèse nulle, l'hypothèse de couverture non conditionnelle est vérifiée et l'espérance du processus de violation est égal au taux de couverture 5%. Concernant le test de Christoffersen, 2 pv pour VaR Normale ainsi que 3 pv pour la VaR Cornish-Fisher sont inférieurs à 5 %. On ne peut dire que la VaR Cornish-Fisher est meilleure que la VaR-Normale pour un skewness de 0 et 20 pour un Kurtosis 3.3, ce que l'on peut dire, c'est que la VaR Normale convient pour un kurtosis de 3.3, la VaR Cornish-Fisher aussi. 3.3 loi Normale Laplace packageNormalLaplace > library(NormalLaplace) > library(moments) > n=10000 > rt <- rnl(n, mu = 0.000453, sigma = 0.000035/3444, alpha = 10, beta = 12) > mean(rt) [1] 0.01542709 > var(rt) [1] 0.01677235 > skewness(rt) [1] 0.421324 > kurtosis(rt) [1] 6.381957 > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = 0.42132, z = 16.53000, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 6.382, z = 28.162, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 L'hypothèse nulle est rejetée pour le test d'agostino et anscombe, le skewness et le kurtosis sont significativement différent de 0. Le skewness est de 0.5 et le kurtosis de 6. Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi normale laplace 21
* 20% des pv pour la VaR Normale sont rejetées par le test de Kupiec 33.33% des pv pour la VaR Normale sont rejetées par le test de Christofferen 13.33% des pv pour la VaR Cornish-Fisher sont rejetées par le test de Kupiec 33.33% des pv pour la VaR Cornish-Fisher sont rejetées par le test de Christofferen La VaR Cornish-Fish ne semble pas être préférable à la VaR-Normale pour un skewness de 0.5 et le kurtosis de 6. Les 2 VaR semblent inadaptées. 3.4 loi Normale > library(moments) > n=10000 > rt <- rnorm(n,-0.044,.03) > mean(rt) [1] -0.04355871 > var(rt) [1] 0.0008975451 > skewness(rt) 22 [1] -0.03104728 > kurtosis(rt) [1] 2.993166 > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = -0.031047, z = -1.268100, p-value = 0.2047 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 2.99320, z = -0.10344, p-value = 0.9176 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 L'hypothèse nulle n'est pas rejetée pour le test d'agostino et anscombe, le skewness et le kurtosis sont non significativement différent de 0. Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi normale 23
* 100% des pv sont supérieurs à 5%, par conséquent, les 2 VaR sont adaptés pour un skewness de 0 et un kurtosis de 3. 3.5 Loi Laplace asymétrique > library(GeneralizedHyperbolic) > library(moments) > n=10000 > rt <-rskewlap(n, mu = 0.0000321, alpha = 1/23, beta = 1/22) > skewness(rt) [1] 0.1906212 > kurtosis(rt) [1] 5.662869 > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt 24 skew = 0.19062, z = 7.71900, p-value = 1.173e-14 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 5.6629, z = 25.1130, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 Les pv du test d'agostino et anscombe sont inférieurs à 5%, par conséquent on rejete H0, le skewness et le kurtosis sont significativement différents de 0. Le skewness 0.05 et le kurtosis 5.7. Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi Laplace asymétrique
* Pour un skewness 0.05 et un kurtosis 5.7, la VaR de Cornish-Fisher semble être préférable àla VaR Normale, aucune pv du test de kupiec et du test de christoffersen n'est rejetée pour la VaR Cornish-Fisher, tandis que 2 pv du test de kupiec et 3 pv du test de christoffersen sont rejetées. 25 3.6 Loi d'extremum généralisée 1ère simulation > library(evd) > library(moments) > n <- 10000 > ### The Generalized Extreme Value Distribution LIBRARY EVD > rt <- rgev(n, loc=0, scale=0.05332, shape=0) > skewness(rt) [1] 1.083461 > kurtosis(rt) [1] 5.017651 > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = 1.0835, z = 36.5310, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 5.0177, z = 21.6790, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 Les pv du test d'agostino et anscombe sont inférieurs à 5%, par conséquent on rejete H0, le skewness et le kurtosis sont significativement différents de 0. Le skewness 1 et le kurtosis 5.4 Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi d'extremum généralisée
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* Pour la loi d'extremum généralisée, on remarque que les 2 VaR conviennent. Donc pour un skewness de 1 et un kurtosis 5.4, on peut utiliser les 2 VaR. 2ème simulation > library(evd) > library(moments) > n=10000 > ### The Generalized Extreme Value Distribution LIBRARY EVD > rt <- rgev(n, loc=-0.02, scale=0.05332, shape=-0.74837) > plot(rt, type = "l", col = "steelblue") > skewness(rt) [1] -1.292113 > kurtosis(rt) [1] 5.423539 > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = -1.2921, z = -41.3680, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 5.4235, z = 23.9310, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 Les pv du test d'agostino et anscombe sont inférieurs à 5%, par conséquent on rejete H0, le skewness et le kurtosis sont significativement différents de 0. Le skewness -1.3 et le kurtosis 5 Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi d'extremum généralisée 27
* 100% des pv sont inféireurs à 5% pour la VaR Normale. 100% des pv sont supérieurs à 5% pour la VaR Cornish-Fisher. Il est évident de dire ici que la VaR Cornish-Fisher est préférable à la VaR Normale pour un skewness ' -1.3 et un kurtosis 5. 3.7 Loi de Gumbel > library(evd) > library(moments) > ### The Gumbel Distribution LIBRARY EVD > n <- 10000 > rt <- rgumbel(n, loc=-0.082991, scale=0.091276) > plot(rt, type = "l", col = "steelblue") > skewness(rt) [1] 1.124037 > kurtosis(rt) [1] 5.434639 28 > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = 1.124, z = 37.518, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 5.4346, z = 23.9880, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 Les pv du test d'agostino et anscombe sont inférieurs à 5%, par conséquent on rejete H0, le skewness et le kurtosis sont significativement différents de 0. Le skewness 1 et le kurtosis 5.8 Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi de Gumbel
* 29
Après 15*3 simulations, les pv du test kupiec et christoffersen ne se calculent pas. Par ailleurs, 60 % des pv du test de kupiec calculées pour la VaR Cornish-Fisher sont rejetées, et 33.33% des pv du test de christoffersen calculées pour la VaR Cornish-Fisher sont rejetées. On ne peut rien conclure ici car les pv des tests de la VaR Normale ne se sont pas calculées. 3.8 Loi de Tukey-lambda généralisée > library(fBasics) > library(moments) > #Generalized Lambda Distribution LIBRARY (fbasics) > n <- 10000 > rt <- rgld(n, lambda1 = 0, lambda2 = -0.8, lambda3 = -1/69, lambda4 = -1/30) > skewness(rt) [1] 0.9236164 attr(,"method") [1] "moment" > kurtosis(rt) [1] 1.898747 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) 30 D?Agostino skewness test data: rt skew = 0.92375, z = 32.40900, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 4.8997, z = 20.9550, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 Les pv du test d'agostino et anscombe sont inférieurs à 5%, par conséquent on rejete H0, le skewness et le kurtosis sont significativement différents de 0. Le skewness 1 et le kurtosis 6 Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi de Loi de Tukey-lambda généralisée *
Pour skewness 1 et un kurtosis 6, les 2 VaR sont inadaptées. 31 3.9 Loi Normale asymétrique 1ère simulation > library(fGarch) > library(moments) > n <- 10000 > rt <- rsnorm(n, mean = 0.02091, sd = 0.09833, xi = 1.5) > skewness(rt) [1] 0.5801937 attr(,"method") [1] "moment" > kurtosis(rt) [1] 0.2751388 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = 0.58028, z = 22.06600, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 3.2758, z = 5.0032, p-value = 5.637e-07 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 Les pv du test d'agostino et anscombe sont inférieurs à 5%, par conséquent on rejete H0, le skewness et le kurtosis sont significativement différents de 0. Le skewness 0.5 et le kurtosis 3.2 Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi Normale asymétrique 32
* 100% des pv pour la VaR Normale sont rejetées par le test de Kupiec 100% des pv pour la VaR Normale sont rejetées par le test de Christofferen 66.66% des pv pour la VaR Cornish-Fisher ne sont pas rejetées par le test de Kupiec 73.33% des pv pour la VaR Cornish-Fisher ne sont pas rejetées par le test de Christofferen Pour un skewness 0.5 et un kurtosis 3.2, la VaR Cornish-Fisher est nettement préférable à la VaR Normale. 2ème simulation > library(fGarch) > library(moments) > n <- 10000 > rt <- rsnorm(n, mean = -0.01/252, sd = 0.0598, xi = -1.302) > skewness(rt) [1] -0.3877527 attr(,"method") [1] "moment" > kurtosis(rt) [1] 0.09773852 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = -0.38781, z = -15.30300, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 3.0984, z = 1.9532, p-value = 0.05079 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 Les 2 pv des tests dagostino et anscombe sont rejetées, le skewness et kurtosis sont significativement différent de 0. Le skewness est de -0.04 et le kurtosis est 3.15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.0580750
Modified :Test Christoffersen :cc.LRp
33 * 34 66.66% des pv pour la VaR Normale sont rejetées par le test de Kupiec 53.33% des pv pour la VaR Normale sont rejetées par le test de Christofferen 100% des pv pour la VaR Cornish-Fisher ne sont pas rejetées par le test de Kupiec 100% des pv pour la VaR Cornish-Fisher ne sont pas rejetées par le test de Christofferen Pour un skewness est de -0.04 et un kurtosis est 3.15, la VaR Cornish-Fisher est préférable à la VaR Normale 3.10 Generalized Error Distribution > # Generalized Error Distribution library(fGarch) > rt <- rged(n, mean = 0.00436, sd = 0.12, nu = 1.6) > skewness(rt) [1] 0.002715777 attr(,"method") [1] "moment" > kurtosis(rt) [1] 0.7122138 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = 0.0027162, z = 0.1109700, p-value = 0.9116 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 3.713, z = 10.919, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 La pv du test anscombe est inférieur à 5 %, par conséquent on rejete H0, le kurtosis est significativement différents de 0. Le test d'agostino conclut que le skewness est non significativement différent de 0. Le skewness 0 et le kurtosis 3.45 Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la distribution des erreurs généralisées
3 4 6 8 9 * 2 5 7 1 10 11 12 13 14 15 Normal :Test Kupiec :uc.LRp 0.19094 0.31229 0.91815 0.41751 0.83691 0.68339 0.41751 0.11458 0.75712 0.26707 0.34874 0.31229 0.47741 0.83792 0.08905 Normal :Test Christoffersencc.LRp 0.04487 0.43503 0.87552 0.71803 0.97479 0.19725 0.67135 0.27114 0.32629 0.53885 0.58809 0.43503 0.73637 0.24159 0.23472 * 35
Presque 100% des pv sont superieurs à 5%, par conséquent, les 2 VaR sont adaptées pour un skewness de 0 et un kurtosis de 3.5. 3.11 Skew Generalized Error Distribution 1ère simulation 36 > # Skew Generalized Error Distribution library(fGarch) > library(fGarch) > library(moments) > n <- 10000 > rt <- rsged(n, mean = -0.002938, sd = 0.0394, nu = 2, xi = 0.9) > skewness(rt) [1] -0.1457625 attr(,"method") [1] "moment" > kurtosis(rt) [1] 0.0618421 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = -0.14578, z = -5.92490, p-value = 3.124e-09 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 3.0625, z = 1.2745, p-value = 0.2025 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 La pv du test d'agostino est inférieur à 5 %, par conséquent on rejete H0, le skewness est significativement différents de 0. Le test anscombe conclut que le kurtosis est non significativement différent de 0. Le skewness -0.16 et le kurtosis = 3 Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la distribution des erreurs généralisées asymétriques
37 *
* 46.66% des pv pour la VaR Normale sont rejetées par le test de Kupiec 13.33% des pv pour la VaR Normale sont rejetées par le test de Christofferen 100% des pv pour la VaR Cornish-Fisher ne sont pas rejetées par le test de Kupiec 100% des pv pour la VaR Cornish-Fisher ne sont pas rejetées par le test de Christofferen La VaR Cornish-Fisher semble être clairement préférable à la VaR Normale pour un skewness -0.16 et un kurtosis = 3 2ème simulation > # Skew Generalized Error Distribution library(fGarch) > library(fGarch) > library(moments) > n <- 10000 > rt <- rsged(n, mean = 0.003738, sd = 0.0394, nu = 2, xi = 2) > skewness(rt) [1] 0.7973526 attr(,"method") [1] "moment" > kurtosis(rt) [1] 0.4471458 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = 0.79747, z = 28.85500, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 3.4478, z = 7.5609, p-value = 4.003e-14 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 38 Les pv du test d'agostino et anscombe sont inférieurs à 5%, par conséquent on rejette H0, le skewness et le kurtosis sont significativement différents de 0. Le skewness 0.75 et le kurtosis 3.55 Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la distribution des erreurs généralisées asymétriques
* Les pv pour la VaR Normale ne se calculent pas comme pour la loi Gumbel. Pour un skewness 0.75 et un kurtosis 3.55, les 2 VaR sont inadaptées. 3.12 loi de student > library(fGarch) > library(moments) > n <- 10000 > rt <- rstd(n, mean = 0.0092, sd = 0.082, nu = 5) > skewness(rt) [1] 0.243294 attr(,"method") [1] "moment" 39 > kurtosis(rt) [1] 4.139516 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = 0.24333, z = 9.80010, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 7.1409, z = 30.7720, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 Les pv du test d'agostino et anscombe sont inférieurs à 5%, par conséquent on rejete H0, le skewness et le kurtosis sont significativement différents de 0. Le skewness 0.1 et le kurtosis 6.4. Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi de student 40
* 93.33% des pv pour la VaR Normale sont rejetées par le test de Kupiec 33.33% des pv pour la VaR Normale sont rejetées par le test de Christofferen 26.66% des pv pour la VaR Cornish-Fisher sont rejetées par le test de Kupiec 26.66% des pv pour la VaR Cornish-Fisher sont rejetées par le test de Christofferen La VaR Cornish-Fish semble être préférable à la VaR-Normale pour un skewness 0.1 et un kurtosis ' 6.4. 3.13 loi de student asymétrique 1ère simulation > # Skew Generalized Error Distribution library(fGarch) > library(fGarch) > library(moments) > n <- 10000 > rt <- rsstd(n, mean = -0.04, sd = 0.091, nu = 5, xi = 1.2) > skewness(rt) [1] 0.3285361 attr(,"method") [1] "moment" 41 > kurtosis(rt) [1] 2.509977 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = 0.32859, z = 13.08700, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 5.5111, z = 24.3750, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 Les pv du test d'agostino et anscombe sont inférieurs à 5%, par conséquent on rejete H0, le skewness et le kurtosis sont significativement différents de 0. Après plusieurs simulations les valeur du skewness et du kurtosis se montrent très volatiles. Néanmoins l'asymétrie est toujours positive et l'excès d'aplatisse-ment est toujours positif aussi. le skewness -0.7 et le kurtosis 8 Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi de student asymétrique 42
* 100% des pv pour la VaR Normale sont rejetées par le test de Kupiec 100% des pv pour la VaR Normale sont rejetées par le test de Christofferen 46.66% des pv pour la VaR Cornish-Fisher ne sont pas rejetées par le test de Kupiec 53.33% des pv pour la VaR Cornish-Fisher ne sont pas rejetées par le test de Christofferen La VaR Cornish-Fisher semble être clairement préférable à la VaR Normale pour un skewness -0.7 et un kurtosis 8. Néanmoins, elle n'est pas très
fiable. Il faudrait faire une simulation d'un nombre 2ème simulation > library(moments) > library(sn) > n <- 10000 > # Skew-t Distribution library sn > rt <- rst(n, xi=-0.098, omega=0.01, alpha=-0.0065, nu=Inf, dp=NULL) > skewness(rt) [1] -0.03463389 attr(,"method") [1] "moment" > kurtosis(rt) 43 [1] -0.01726209 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = -0.034639, z = -1.414800, p-value = 0.1571 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 2.98330, z = -0.30672, p-value = 0.7591 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 Les pv du test d'agostino et anscombe sont supérieurs à 5%, par conséquent on ne rejete pas H0, le skewness et le kurtosis sont non significativement différents de 0, la distribution semble être normale, cela doit être dans le choix des paramètres. Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi de student asymétrique
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* Presque 100% des pv sont supérieurs à 5%, par conséquent, les 2 VaR sont adaptés pour un skewness de 0 et un kurtosis de 3. Ce résultat était attendu. 3.14 Generalized Hyperbolic Student-t > library(fBasics) > library(moments) > n <- 10000 > rt <- rght(n, beta = 0.1, delta = 0.504, mu = 0.0076, nu = 11) > skewness(rt) [1] 0.01745094 attr(,"method") [1] "moment" > kurtosis(rt) [1] -0.05402677 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = 0.017454, z = 0.713020, p-value = 0.4758 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 2.9466, z = -1.0853, p-value = 0.2778 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 L'hypothèse nulle n'est pas rejetée pour le test d'agostino et anscombe, le skewness et le kurtosis sont non significativement différent de 0. 45 Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi de student
* 100% des pv sont supérieurs à 5%, par conséquent, les 2 VaR sont adaptés pour un skewness de 0 et un kurtosis de 3. 3.15 Standardized generalized hyperbolic Student-t Distribution > library(fBasics) > library(moments) > n <- 10000 > rt <- rsght(n, beta = 0.1, delta = 1, mu = 0, nu = 10) > skewness(rt) [1] -0.01717149 attr(,"method") [1] "moment" > kurtosis(rt) 46 [1] 0.03917319 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = -0.017174, z = -0.701600, p-value = 0.4829 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 3.03980, z = 0.83379, p-value = 0.4044 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 L'hypothèse nulle n'est pas rejetée pour le test d'agostino et anscombe, le skewness et le kurtosis sont non significativement différent de 0. Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi de student
47 * Presque 100% des pv sont supérieurs à 5%, par conséquent, les 2 VaR sont adaptés pour un skewness de 0 et un kurtosis de 3. 3.16 loi triangulaire > library(moments) > library(triangle) > n <- 10000 > rt <- rtriangle(n, -0.36, 0.42, 0) > skewness(rt) [1] 0.06179604 attr(,"method") [1] "moment" > kurtosis(rt) [1] -0.6035392 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = 0.061805, z = 2.522700, p-value = 0.01165 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 2.3969, z = -18.1040, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 La loi triangulaire a un coefficient d'aplatissement inférieur à celui de la loi normale, chose qui est très rare, voir impossible pour les distribution des actifs financiers. la loi triangulaire possède un skewness de 0.05 un kurtosis de 2.4, soit 0.8 de moins celui d'une loi normale. Par ailleurs, la somme de 2 variables aléatoires qui suivent une loi uniforme sur un même intervalle est une distribution triangulaire. Cette loi est étudiée dans ce rapport surtout le but de répondre à la question posée. Les pv du test d'agostino et anscombe sont inférieurs à 5%, par conséquent on rejette H0, le skewness et le kurtosis sont significativement différents de 0. Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi de student asymétrique 48
* 100% des pv pour la VaR Normale et pour la VaR Cornish-Fisher ne sont pas rejetées. Donc pour un skewness de 0.05 et un kurtosis de 2.4, les 2 VaR sont adaptées. 3.17 loi uniforme > library(moments) > n <- 10000 > rt <- runif(n, -0.5393, 0.4323) > skewness(rt) [1] -0.005763026 attr(,"method") [1] "moment" > kurtosis(rt) [1] -1.215015 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) 49 D?Agostino skewness test data: rt skew = -0.0057639, z = -0.2354800, p-value = 0.8138 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 1.7853, z = -100.0100, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 La loi uniforme comme pour la loi triangulaire a un coefficient d'aplatissement inférieur à celui de la loi normale. La loi uniforme possède un skewness de 0 un kurtosis de 1.8, soit 1.2 de moins celui d'une loi normale. Cette loi est étudiée dans ce rapport surtout le but de répondre à la question posée. La pv du test anscombe sont inférieurs à 5%, par conséquent on rejete H0, le kurtosis sont significativement différents de 0, par contre, le skewness est non significativement différent de 0. Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi de student asymétrique
50 * 100% des pv pour la VaR Normale et pour la VaR Cornish-Fisher sont rejetées. Pour un skewness de 0 et un kurtosis de 1.8, les 2 VaR sont inadaptées. 3.18 loi logistique > library(moments) > n <- 10000 > #### loi logistique kurtosis 4.2 et skew= -0.05 > rt <- rlogis(n, location = 0, scale = 0.004) > skewness(rt) [1] -0.01097887 attr(,"method") [1] "moment" > kurtosis(rt) [1] 1.262973 attr(,"method") [1] "excess" > agostino.test(rt) D?Agostino skewness test data: rt skew = -0.010981, z = -0.448600, p-value = 0.6537 alternative hypothesis: data have a skewness > anscombe.test(rt) Anscombe-Glynn kurtosis test data: rt kurt = 4.2638, z = 16.3390, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: kurtosis is not equal to 3 La pv du test d'agostino est supérieur à 5%, par conséquent on ne rejete pas H0. La pv du test anscombe est inférieur à % donc on rejete H0. le kurtosis est significativement différent de 0. Le skewness est de -0.05 et le kurtosis est de 4.2 Backtesting sur la VaR Normale et la VaR Cornish-Fisher par simulation Monte-Carlo sur la loi de student asymétrique 51
* Presque 100% des pv sont supérieurs à 5%, par conséquent, les 2 VaR sont adaptés pour un skewness de 0 et un kurtosis de 4.2. 52 53 |
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