Chapitre 1
Définitions et illustration des
notions
1.1 Moment d'ordre 3 : Asymétrie pertes/gains
1.1.1 Le coefficient d'asymétrie (skewness)
Le coefficient d'asymétrie (skewness) :
correspond à une mesure de l'asymétrie de la distribution
d'une variable aléatoire réelle. On définit le coefficient
d'asymétrie d'ordre 3 de la variable centrée réduite :
1 X S = nó3 (x -
m)3 (1.1)
1.1.2 Test de D'Agostino
Le test de D'Agostino est basésur les coefficients
d'asymétrie et d'aplatissement. Lorsque ces deux indicateurs diff`erent
simultanément de la valeur de référence 0, on conclut que
la distribution empirique n'est pas compatible avec la loi normale.
Les hypoth`eses du test sont alors :
H0 : 'y1 = 0
Symétrie : La probabilitéest non significativement
différente de 0 et donc la distribution est normale.
H1 : 'y1 =6 0
Asymétrie : La probabilitéest significativement
différente de 0 et ici ça dépend du signe du skewness :
/il y a une probabilitéplus importante d'avoir des pertes que d'avoir
des gains si le skewness est négatif
/il y a une probabilitéplus importante d'avoir des
gains que d'avoir des pertes si le skewness est positif.
1.2 Moment d'ordre 4 : Queue de distribution
épaisse
1.2.1 Le coefficient d'aplatissement
Le kurtosis mesure l'aplatissement d'une série, c'est
le moment d'ordre 4. S'il est supérieur à 3, la série a
des queues plus épaisses que la normale aux extrémités,
impliquant des valeurs anormales plus fréquentes. S'il est
négatif, la distribution est relativement aplatie. A noter que,
généralement, dans les logiciels et dans l'utilisation du
Kurtosis, on consid`ere que K'=K-3
'y2 = E[(X -
)4] (1.2)
ó
Le terme d'exc`es d'aplatissement, dérivéde
kurtosis excess en anglais, utilisépour le kurtosis
normalisépeut être source d'ambiguïté. En
effet, un exc`es d'aplatissement positif correspond à une distribution
pointue et un exc`es d'aplatissement négatif à une distribution
aplatie.
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1.2.2 Le test d'anscombe
Le test d'anscombe est un test pour mesurer l'aplatissement d'une
distribution Les hypothèses du test sont alors :
H0 : ã2 = 3
ce qui veut dire que les donn'ees sont sym'etriques et suivent
une loi normale
H1 : ã2 =6 3
la valeur de Kurtosis est soit sup'erieur à 3 (queue plus
'epaisse), soit inf'erieur à 3 (queue moins 'epaisse)
1.3 Le rendement logarithmique
La gestion des portefeuilles d'actifs s'appuie sur la notion de
rendement ou de taux de rentabilit'e. Cette grandeur mesure, pendant un
intervalle de temps donn'e, l'appr'eciation ou la d'epr'eciation relative de la
valeur d'un actif financier ou d'un portefeuille d'actifs.
le rendement logarithmique, 'egalement appel'e rendement
g'eom'etrique, entre les instants t et t-1 est d'efini par:
Pi(t)
Ri(t) = ln (1.3)
Pi(t - 1)
Exemple d'un rendement logarithmique sur une simulation
de la loi normale
> n <- 3000
> rt <- rnorm(n,0.01/252,0.05)
> # convertir la simulation en time series
> x.Date <- as.Date("2003-02-01") + c(1:3000)
> plot(x.Date, rt, type='l',
main='rendement logarithmique')
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rendement logarithmique
2004 2006 2008 2010
rt
-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15
x.Date
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