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Mémoire: A PARTIR DE QUELLES VALEURS DU SKEWNESS ET DU
KURTOSIS, LA VALUE-AT-RISK DE CORNISH-FISHER EST-ELLE PR'EF'ERABLE À LA
VAR NORMALE?
MEHDI DRISSI BOUTAYBI
M1 MIMSE
Année universitaire 2015/2016
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Introduction
La notion de Value-at-Risk (VaR) est apparue pour la
première fois dans le secteur de l'assurance. A la fin des années
1980, la banque Bankers Trust fut l'une des premières institutions
à utiliser cette notion sur les marchés financiers aux
Etats-Unis, mais c'est principalement la banque JP Morgan qui dans les
années 90 a popularisée ce concept notamment grâce à
son système RiskMetrics (pour un historique complet de la notion de
Value-at-Risk et de sa diffusion se reporter au livre de Dowd, 2005). La Value
-at-Risk est ensuite devenue, en moins d'une dizaine d'années, une
mesure de référence du risque sur les marchés financiers,
consacrée notamment par la réglementation prudentielle
définie dans le cadre des accords de Bâle II. De façon
générale, la Value-at-Risk est définie comme la perte
maximale potentielle qui ne devrait être atteinte qu'avec une
probabilitédonnée sur un horizon temporel donné(Engle et
Manganelli, 2001). La Value at Risk est donc la pire perte attendue sur un
horizon de temps donnépour un niveau de confiance donné. Cette
définition très simple constitue l'un des principaux attraits de
la Value-at-Risk : il est en effet très facile de communiquer sur la VaR
et de ainsi proposer une mesure homogène et générale
(quelque soit la nature de l'actif, la composition du portefeuille etc.) de
l'exposition au risque.
Le calcul de la VaR-normal est adaptée au rendement
logarithmique qui suit une distribution normale, or en pratique, la loi de
distribution des rendements logarithmique des produits financiers et des
portefeuilles est rarement normale et possède des queues de distribution
beaucoup plus épaisses que celles d'une loi normale. Les distributions
leptocurtiques, la loi de Laplace et la loi cstable de Levy et d'autres lois
étudiées dans ce rapport, sont généralement plus
appropriées.
Ce rapport va se pencher sur uniquement l'étude de 2
VaR et plus précisément sur la problèmatique : A partir de
quelles valeurs du skewness et du kurtosis,la Value-at-Risk de Cornish-Fisher
est-elle préférabl e à la VaR normale?, par simulation
Monte-Carlo sur plusieurs lois afin de trancher en faveur ou en défaveur
du calcul de la Value-at-Risk de Cornish-Fisher ou de la VaR normale pour un
skewness et un kurtosis donné.
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Table des matières
Introduction 3
1 Définitions et illustration des notions
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1.1 Moment d'ordre 3 : Asymétrie pertes/gains 7
1.1.1 Le coefficient d'asymétrie (skewness) 7
1.1.2 Test de D'Agostino 7
1.2 Moment d'ordre 4 : Queue de distribution épaisse
7
1.2.1 Le coefficient d'aplatissement 7
1.2.2 Le test d'anscombe 8
1.3 Le rendement logarithmique 8
1.4 La Value-at-Risk 9
1.4.1 La VaR-Normale 9
1.4.2 La VaR de Cornish-Fisher 10
1.5 Le Backtesting 10
1.5.1 Test de validation d'une prévision 10
1.5.2 Violations de la VaR 10
1.5.3 Comment tester ces 3 hypothèses? 14
2 La procédure mise en place 15
2.1 Explication de la procédure 15
2.2 Remarques importantes 15
3 Résultats des simulations Monte-Carlo
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3.1 loi stable ou distribution de Lévy tronquée
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3.2 loi hyperbolique 18
3.3 loi Normale Laplace packageNormalLaplace 20
3.4 loi Normale 21
3.5 Loi Laplace asymétrique 23
3.6 Loi d'extremum généralisée 25
3.7 Loi de Gumbel 27
3.8 Loi de Tukey-lambda généralisée 29
3.9 Loi Normale asymétrique 31
3.10 Generalized Error Distribution 34
3.11 Skew Generalized Error Distribution 35
3.12 loi de student 38
3.13 loi de student asymétrique 40
3.14 Generalized Hyperbolic Student-t 44
3.15 Standardized generalized hyperbolic Student-t Distribution
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3.16 loi triangulaire 47
3.17 loi uniforme 48
3.18 loi logistique 50
Conclusion 53
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