II. Forces de trainée
II.1- Trainée de pression et trainée
visqueuse
Lorsqu'un corps est immergé dans un écoulement
uniforme, on conçoit aisément que les efforts hydrodynamiques
doivent être fonction du champ des vitesses des particules de fluide
à chaque instant.
y' La résultante des forces de pression dans la direction
x est la « traînée de pression » y' La résultante
des forces de frottement dans la direction x est la « traînée
de frottement»
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La somme de la traînée de pression et de la
traînée de frottement est simplement appelée «
traînée » T de l'objet. C'est la force totale
appliquée par le fluide sur l'obstacle suivant la direction de
l'écoulement.
Pour définir la force de trainé, on passe
généralement par l'intermédiaire d'un nombre sans
dimension le « coefficient de traînée » CX,
défini par :
T
CX = (1 (3)
lz)S Uz
Le coefficient ci-dessus, appelé par commodité
« le CX » de l'obstacle, est déterminé
expérimentalement ou par le calcul, puis la traînée est
obtenue en renversant la formule (3) :
C2) CX S U2 (4)
Dans le cas d'un obstacle cylindrique, la trainé est
donnée comme suit :
27r
fo (p cos 8 + ro sin 8) rd8 Où p est
la pression et ro est la contrainte de cisaillement.
II.1.1- Influence de la rugosité de la
surface
Les effets hydrodynamiques de la rugosité des surfaces
ont été essentiellement étudiés en premier lieu par
Nikuradse (1950), qui a considéré des conduites
rendues rugueuses par des grains de sable.
Le problème de la rugosité est aussi
compliqué par la possibilité d'avoir une grande diversité
de formes, de dimensions et de la distribution des aspérites. Un aspect
complet de plusieurs types de rugosité de la surface a été
donné par Jayatilleke.
Ce chercheur a développé des lois empiriques
décrivant les effets quantitatifs de la rugosité de surface sur
le processus de transfert de la chaleur et de quantité de mouvement
à travers la sous couche visqueuse. Plus particulièrement ; la
loi de transfert de la chaleur et de quantité de mouvement pour le type
le plus simple de la rugosité, à savoir une densité
maximale et une rugosité uniforme.
Ce type de rugosité est formé
d'éléments qui sont statistiquement de tailles constantes et
hermétiquement pleins sur la surface. Dans ce cas la grandeur de la
rugosité est caractérisée par une dimension
particulière, à savoir la hauteur de l'élément de
la rugosité k.
Pour permettre l'usage des résultats de cette
rugosité (de grains de sable) pour toute surface rugueuse ; Schlichting
introduit le concept de la rugosité, équivalente du grain de
sable ks (rugosité de référence). La hauteur
équivalente de cette rugosité est définie comme la hauteur
constante qui donne le même coefficient de frottement à la
paroi.
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La rugosité d'une paroi est déterminée
selon plusieurs critères. Ainsi, la distribution, la forme
géométrique, la densité, la hauteur, etc. des
aspérités peuvent servir à définir la
rugosité de la paroi.
En ce qui concerne le développement de la couche limite
turbulente sur une telle surface, des expériences montrent que, si les
aspérités ont une hauteur k plus petite que l'épaisseur de
la sous-couche visqueuse, il n'y a pas d'influence de la rugosité ni sur
la distribution de vitesse universelle ni sur le frottement à la
paroi.
Par conséquent, une telle surface est lisse du point de
vue hydrodynamique. Il s'ensuit que le caractère hydrodynamique d'une
surface rugueuse donnée peut varier, puisque l'épaisseur de la
couche limite change le long de cette même surface. Ainsi, une surface
qui apparaît rugueuse au début du développement de la
couche limite peut ensuite devenir lisse. Les expériences montrent que
la distribution de vitesse universelle reste toujours valable,
indépendamment de la rugosité de la paroi.
Toutefois, la constante C devient une fonction de K+ et de la
géométrie des protubérances, où K+ exprime une
forme du nombre de Reynolds en fonction de K et U*
(5)
Cela implique que, dans la zone logarithmique de la
distribution de vitesse universelle, la ligne droite représentée
sur la figure (5) est déplacée dans le diagramme
parallèlement à elle-même vers le bas. L'importance du
déplacement dépend de la valeur de K+ et de la
géométrie de la rugosité. Du fait de cette observation, il
est admissible de comparer une surface rugueuse quelconque avec une surface de
rugosité standard qui produise dans la zone logarithmique exactement le
même déplacement de la distribution de vitesse. Une telle
rugosité standard est obtenue au moyen de grains de sable de taille
très précise. On parle donc d'une rugosité de grains de
sable équivalente d'une hauteur ks.
Figure 5 : La rugosité d'une paroi
caractérisée par la hauteur k (a)
Figure 6 : la rugosité équivalente
de grains de sable d'une hauteur ks (b).
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La constante C de la distribution de vitesse dépend
alors du paramètre ks+ défini de façon analogue.
Selon les valeurs de ks+, on définit les régions
suivantes :
ks+ < 5, une région lisse dont les
protubérances sont limitées à l'intérieur de la
sous-couche visqueuse; 5 < ks+ < 70, une région
transitoire dont les protubérances sont suffisamment hautes pour
s'étendre en partie à l'extérieur de la sous-couche
visqueuse : ks+>70, une région brute ou rugueuse se produit le long
de la sous-couche visqueuse.
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