Chapitre 2
La solution numérique des équations
différentielles
L'objet de ce travail se porte sur la rèsolution
numérique des équations différentielles linéaires.
En effet pour résoudre ce problème plusieurs méthodes
numériques sont possibles parmis les quelles on présente la
méthode d'Euler et celle de Runge-Kutta.
2.1 Méthode d'Euler
En mathématiques, la méthode d'Euler, du
mathématicien Leonhard Euler, est une procédure numérique
pour résoudre par approximation des équations
différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la
plus ancienne et la plus simple des méthodes de résolution
numérique des équations différentielles.
Définition 2.1.1 La méthode
d'Euler est une méthode numérique élémentaire de
résolution d'équations différentielles du premier ordre
avec condition initiale (problème de Cauchy)
~
y'(x) = f(x, y(x)), Vx E I
(2.1.1)
y(x0) = a où I est un intervalle de de longueur T et
y une fonction réelle définie sur I, a E est
une constante donnée (condition initiale).
On subdivise l'intervalle I en N intervalles
[xn, xn+1], avec n = 0, 1, ..., N - 1 et on
définit le pas h par
2.1 Méthode d'Euler 11
La méthode d'Euler pour la résolution des
problèmes de Cauchy (2.1.1) consiste à calculer les
quantités ym E II1 qui représentent des
approximations de y(xn), définies ci-dessous. La
méthode explicite Pour 0 Ç n
Ç N - 1, on pose
y(xm+1) = y (xn) + hf(xn, y
(xn)). (2.1.2)
La formule (2.1.2) est appelée schéma
d'Euler. Exemple 2.1.1 Soit le
problème de Cauchy
|
~y (x) = -2xy, Vx E I = [0, 0.5] y0 =
1
|
.
|
(2.1.3)
|
La solution analytique du système (2.1.3) est y =
e_x2, x E II1.
On subdivise l'intervalle I en 10 intervalles, donc le pas h
= 0, 05. Comme xn+1 = x + h, alors en appliquant la formule (2.1.2) on
obtient le tableau suivant :
|
x
|
0
|
0.05
|
0.10
|
0.15
|
0.20
|
0.25
|
0.30
|
0.35
|
0.40
|
0.45
|
0.50
|
|
y
|
1.0000
|
1.0000
|
0.9950
|
0.9850
|
0.9703
|
0.9509
|
0.9271
|
0.8993
|
0.8678
|
0.8331
|
0.7956
|
|
y
|
1.0000
|
0.9975
|
0.9900
|
0.9778
|
0.9608
|
0.9394
|
0.9139
|
0.8847
|
0.8521
|
0.8867
|
0.7788
|
avec y est la solution approchée, et y
n est la solution exacte du problème de Cauchy
(2.1.3).
Remarque 2.1.1 On remaque que les
solutions obtenues s'écartent au für et à mesure de la
solution exacte, voir figure 1.
2.2 Méthode Runge-Kutta 12
Cette méthode est équivalente à la
méthode d'Euler, on l'applique généralement pour
résoudre les équations différentielles du
1er ordre.
Figure 1
2.2 Méthode Runge-Kutta
Les méthodes de Runge-Kutta (RK) d'ordre 1,2 ou 4 sont
des méthodes d'approximation de solutions des équations
différentielles, elles ont été nommées en l'hommeur
des mathématiciens Carl Range et Martin Wilhelm Kutta (1901).
C'est méthode reposent sur le principe de
l'intération, c'est à dire qu'une première estimation de
la solution est utilisée pour calculer une seconde estimation, plus
précise, et ainsi de suite, ce sont des méthodes à pas
unique, directement dérivées de la méthode d'Euler.
2.2.1 Méthode Runge-Kutta d'ordre 1 (RK1)
2.2 Méthode Runge-Kutta 13
On considére le problème de Cauchy suivant :
J y/ = f(t; y) (2.2.1)
l y(t0) = y0
La méthode RK1 utilise la formule (2.1.2) pour
résoudre le système (2.2.1).
| 
