III. Méthodologie de Box & Jenkins:
1. Définition :
Box & Jenkins (1976) ont conçu une
méthodologie consistant à modéliser les séries
temporelles au moyen des modèles ARMA.
Pourquoi les modèles ARMA ?
L'idée de base est le concept de parcimonie, ou de la
minimisation du nombre de paramètres.
En pratique, ces derniers étant inconnus, ils sont donc
remplacés par leur valeur estimée : plus il y a de
paramètres, plus nombreuses sont les chances de se tromper.
Les modèles ARMA modélisent très bien
l'historique des données afin de prévoir le futur ; il s'agit
donc d'une méthode de prévision extrapolative.
L'information permettant de mettre en évidence le
processus est contenue dans la série chronologique elle-même, sans
apport externe, d'où le nom de prévision endogène.
La méthode de Box & Jenkins s'applique sur des
séries stationnaires, or les chroniques économiques sont rarement
des réalisations de processus aléatoires stationnaires. La non
stationnarité des processus peut concerner aussi bien le moment du
premier ordre (espérance mathématique) que celui du second ordre
(variance et covariance). Cette non stationnarité peut être
repérée graphiquement (tendance, saisonnalité). Pour avoir
une certitude, il existe des tests pour confirmer les déductions
tirées du graphique.
Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
T ? A P R
3. Test de la saisonnalité et de la tendance :
a. Test de la saisonnalité :
Il existe plusieurs méthodes pour détecter
l'existence d'une composante saisonnière, dont :
La méthode graphique :
Elle consiste à comparer les observations des
différentes années et de voir s'il existe un certain aspect qui
se répète à chaque période, ou à l'aide des
fonctions d'autocorrélations : elle consiste à analyser le
corrélogramme simple : s'il laisse apparaître des pics très
marqués aux retards S, 2S, 3S, ..., on en déduit une
saisonnalité de périodicité S (S=4, 6, 12,...).
Remarque :
L'examen du graphique ne suffit pas très souvent pour
mettre en évidence une saisonnalité, donc il est
nécessaire d'utiliser le test de Fisher à partir de l'analyse de
la variance (test d'ANOVA).
Test de Fisher :
On considère n: Le nombre
d'années. P: Le nombre d'observations dans
l'année : La valeur de la série pour la ième
année et la jème période.
p ( X X )
i .
?? . . i ? 1
VAR ?
A n ? 1
P p -- 1
v 1 ? ? P ? 1? v
2 ? ? n ? 1 ?? P ?
1?
La moyenne générale , la moyenne de l'année
i , la moyenne de la période j
La variance année et la variance période sont
définies respectivement par :
VAR =
n p
i=1 j=1
(X-X- X -
X
i . . j . . )
i j
2
n
2
,
n p ? j=1
(X.j--X..)
-1)(p-
1)
(n
=
??
R
VAR P
La variance résiduelle :
VAR
F0 ?
Fv 1 v 2
2
n p
i=1 j=1
L'équation de la variance totale :
F 0 ?
(X ? X )
i j ..
2
??
=
1
n
?
L'hypothèse est : « pas de saisonnalité »
contre : « il existe une saisonnalité
que l'on compare à la valeur tabulée
La valeur calculée
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?
avec , degré de liberté
Si on rejette, la série est saisonnière.
Chapitre VI Méthodologie de Box Z Jenkins
USTHB Page 72
Soient les hypothèses : : « La série n'est pas
affectée d'une tendance »
Contre : « La série est affectée d'une
tendance »
On calcule que l'on compare avec
Avec , degré de liberté
Si > on rejette l'hypothèse nulle, la série est
affectée d'une tendance.
Concernant l'existence de la tendance, le test de Fisher
s'avère faible, il convient d'effectuer un autre test.
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