Datation du cycle des cours de pétrole et prévision à court terme

3.2.2 Le filtre passe-bande de Christiano et Fitzgerald

Christiano et Fitzgerald (2003) ont propos'e une approximation finie et optimale du filtre a` passe-bande¹⁸ dans le but d'extraire les mouvements cycliques qui, d'après eux, sont des p'eriodes de r'ecurrences dans un intervalle [ù_a, ùb].

Le critère d'optimalit'e retenu par Christiano et Fitzgerald pour approximer le filtre infini par un filtre fini consiste a` minimiser l'esp'erance de l'erreur quadratique E [(yt - y^*_t )²|{X1, . . . , XT}]. Cette erreur est mesur'ee entre yt issue du filtre id'eal, et y* t issue du filtre approxim'e, pour chaque t. On d'etermine ainsi un filtre optimal pour chaque observation de la s'erie consid'er'ee.

Par construction, puisqu'on cherche un filtre lin'eaire, y* t appartient au sous-espace engendr'e par les Xt. La d'etermination de ce filtre dans le cas g'en'eral est complexe. Le filtre obtenu d'epend de l'ensemble de la s'erie consid'er'ee et il varie d'une observation a` l'autre. Ainsi, un tel filtre n'est pas lin'eaire par rapport aux s'eries, et les liens entre les filtres d'etermin'es pour divers intervalles de fr'equences semblent, eux aussi, complexes¹⁹.

Toutefois, dans le cas o`u la s'erie est une marche al'eeatoire sans d'erive, ces auteurs ont montr'e que le filtre optimal approxim'e est beaucoup simplifi'e :

y* t = _XT Bt-iXi, ?t = 1,...,T

i=1

ùb - ù_a sin(jùb) - sin(jù_a)

?j =6 1

Avec B0 = et Bj =

ð ðj

3.3 Méthode de datation des cycles : l'algorithme de Bry et Boschan

Bry et Boschan ont propos'e en 1971 une m'ethode non param'etrique de datation des cycles, bas'ee sur algorithme it'eratif de d'etection des creux et des pics.

¹⁸Une presentation de la methodologie du filtre passe-bande ideal est faite en annexe, page 35. ¹⁹Fournier, J. Y. (2000).

La m'ethode, de Bry et Boschan, que nous d'ecrivons et utilisons dans ce papier est inspir'e de l'article de Anas, J. et al. (2003), qui eux l'ont d'evelopp'ee pour d'eterminer une chronologie de retournement des cycles 'economiques dans la zone euro.

Nous estimons la survenance d'une augmentation (diminution) des cours de p'etrole brut, en mesurant la dur'ee et la profondeur. Tout d'abord, l'on identifie tous les points de retournement candidats fournis par l'algorithme non param'etrique de Bry et Boschan d'ecrit ci-dessous, ensuite la dur'ee et la profondeur des diff'erentes phases sont mesur'ees a` partir de la s'erie brute des observations des cours de p'etrole. La proc'edure non param'etrique d'evelopp'ee par ces auteurs pour une datation sur une s'erie univari'ee est bas'ee sur l'algorithme qui suit :

I La s'erie est corrig'ee des variations saisonnières. En effet, au cas o`u la s'erie ne serait pas corrig'ee des variations saisonnières, les fluctuations de la s'erie dues a` ces mouvements saisonniers seront confondues aux fluctuations conjoncturelles; et toutes analyses seraient donc sans fondement;

I La composante al'eatoire de la s'erie est exclue;

I La d'etermination d'un premier ensemble de points de retournement candidats sur la s'erie {Xt}T _t=1 est faite en utilisant la règle suivante :

- Pic a` la date t :

{Xt > Xt_k,Xt > Xt_k;k = 1,...,K} (3)

- Creux a` la date t :

{Xt < Xt_k,Xt < Xt_k;k = 1,...,K} (4)

O`u K = 5 pour une s'erie mensuelle.

I Les points de retournement se situant dans l'intervalle de six mois du d'ebut ou de la fin des s'eries ne sont pas consid'er'es;

I Une proc'edure pour se rassurer que les Pics et les Creux alternent est d'evelopp'ee par la règle suivante :

En pr'esence de double creux, la plus petite valeur est choisie;

- En pr'esence de doubles pics, la valeur la plus 'elev'ee est choisie.

Selon les relations (3) et (4), nous présentons la méthode la plus utilisée dans la pratique permettant d'identifier les points de retournement potentiels. D'une part, notons {Xt}T _t=1 la série en question et convenons que : ÄkXt = Xt - Xt_k, ^avec Ä1Xt = ÄXt = Xt - Xt_1

Ainsi, l'approche la mieux connue pour détecter les pics et les creux en temps réel dans le cycle économique classique est la suivante :

- Pic a` la date t : {ÄXt+1 < 0, ÄXt+2 < 0}

- Creux a` la date t : {ÄXt+1 > 0, ÄXt+2 > 0}

Cette règle, introduite par Harding et Pagan (1999), signifie qu'une récession (diminution) implique au moins deux trimestres de croissance négative. Mais, un des inconvenients de cette règle est d'être généralement appliquépour des données trimestrielles du Produit Intérieur Brut.