4.4 Prevision
Líobjectif de la methode de Box & Jenkins est de
realiser des previsions. une fois que
le modèle AR< M A(p, Q , q ) a ete choisi, estime et
valide pour les observations X1, ...., Xt, on calcule les previsions.
On suppose quíon se trouve a líinstant t, et
quíon desir prevoir la valeur de x t+ h, tel que alors on utilise
líestimateur XX t(h) líesperance conditionnelle de Xt+
h, tel que :
X
x t(h) 6 E[ Xt+ h/ Xt,
Xt 1, ..., X1]; oü XX t(h) est la
prevision, t est líorigine de la previson, et
h líhorizon de prevision.
Sous les hypothèses suivantes :
E[ Xt j / Xt, Xt 1, ..., X1] 6 Xt j , V ) > 0 ;
E[ Xt+ j / Xt, Xt 1,
..., X1] 6
XX t() ), V ) > 1;
E[ 6 t j / Xt, Xt 1, ..., X1] 6 6 t j , V ) > 0 ;
E[ 6 t+ j / Xt, Xt 1, ..., X1] 6 0 , V ) > 1.
4.4.1 Prevision a líaide díun modËle
autorogressif moyenne mobile integre ARIMA
On considère un modèle AR< M A(p, Q , q ) ecrit
sous forme canonique tel que :
# p (B)8 > Xt 6 ! q (B)6 t. Oü # p (B) 6
p
z
i l 1
b i Bi , ! q (B) 6
q
z
i l 1
& i Bq et 8 > 6 (1
B)>
On peut ecrire : Xt 6
p + >
z
i l 1
$ i Xt j ) 6 t
q
z
j l 1
& t j 6 t j
Oü W (B) 6 # p (B)8 > et donc Xt+ h 6
p + >
z
i l 1
W i Xt h+ j ) 6
t+ h
q
z &
j l 1
t j 6
t+ h j
Il síensuit que la prevision optimale a la date t ) h,
faite compte tenu de toute líinformation
t
disponible jusquía la date t, notee x (h); est donne par
:
X
X
x t(h) 6 E[ Xt+ h/ Xt, Xt 1, ..., X1, M 1] alors : XX
t(h) 6
p + >
z
i l 1
W i XX t(h i) ) 0
q
z
j l 1
6 t
& t j X
(h ) )
Oü XX t(h i) 6 Xt+ h i pour
h > q , on obtient une relation de recurrence de la forme :
p + >
XX t(h) 6
z
i l 1
W i XX t(h i)
Conclusion
Avantages
ñFournit des previsions inconditionnelles.
Peut être entièrement faite automatiquement. en
employant des systèmes experts pour líidentifcation des
modèles.
ñLes modèles sont parcimonieux en ce qui concerne
les coecents cients.
Incovenients
Exige un grand nombre díobservations pour
líidentifcation du modèle. Compliquee a expliquer et interpreter
aux utilisateurs inities.
Ne prend pas en consideration les dependances croises entre les
di§erentes series.
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