Etude prévisionnelle de la consommation nationale du gaz en Algérie

4.2 Estimation

Líobjectif est de trouver les estimateurs des paramétres de la partie 4R et @ 4 du modéle de la chronique. Líestimation du modéle 4R@ 4 repose sur la méthode de maximum

de vraisemblance. Plus spéciÖquement la technique consiste a construire une fonction appelée fonction de vraisemblance et a maximiser son logarithme par rapport aux paramétresb i et & i (avec i : 6 1, ] et j : 6 1, q ) permettant de trouver la valeur numérique la plus vraisemblable pour ces paramétres

Líétape díestimation achevée, líétape suivante va nous permettre de valider le(s) modéle(s)

estimé(s).

4.3 Validation

A líétape de líidentiÖcation, les incertitudes liées aux méthodes employées font que plu- sieurs modéles en générale sont estimés et cíest líensemble de ces modéles qui subissent alors líépreuve des tests, Il existe de trés nombreux permettant díune part de comparer les per- formances entre modéles, on peut citer les tests sur le modéle, les tests sur les paramétres et

les tests sur les résidus.

4.3.1 Tests sur le modËle :

Il faut vériÖer si :

ñLes coecents cients estimés satisfont aux conditions de stationnarité et díinvesrsibilité.

ñLes composantes AR et M A de líARM A níont pas de racine communes.

Ces questions ont une réponse immédiate puisque le logiciel utilisé fournit les inverses des racines des deux polynômes AR et M A, il sucents t de voir si les racines sont :

Strictement supérieure a 1 (a líextérieur du disque unité, les inverses a líintérieur).

Sont distincts, au cas contraire, on peut alors se ramener a une représentation minimale excluant ces racines, dont les degrés de la représentation ARM A seront strictement inférieurs

a ceux de la représentation initiale. Cette représentation sera préférable selon le principe de parcimonie.

4.3.2 Test de Student sur les paramËtres

Le premier test que líon peut mener consiste a tester líhypothése nulle p¹ 6 p 1 et q ¹ 6 q

On regarde si líon peut diminuer díune unité le nombre de retards intervenants dans la partie

AR Ce test est trés simple a mettre en oeuvre puisquíil síagit díun test de signiÖcativité usuel

bç p

^{sur le coecents cient b p ) On calcule donc la statistique de Student du coecents cient (t}'^b# ⁶

)

^{ç 'b}#

) que

líon compare a la valeur critique lue dans la table de la loi de Student. La régle de décision est alors :

^%

^%

Si ^% t

^% 0 ti

, on accepte líhypothése nulle de modéle ARM A(p 1, q ),

^{% 'b}# ^% 2

^%

Si ^% t

%

^% > ti ,líhypothése nulle est rejetée et on retient un modéle ARM A(p, q ),

^{% 'b}# ^% 2

i

a

Oü t

²

est le quantile díordre (1

2 ^{) de la loi de Student (T h) degrés de liberté, h étant}

le nombre de paramétres estimés.

Bien entendu, on peut appliquer un raisonnement similaire au test de líhypothése nulle p¹ 6 p

et q ¹ 6 q 1.

Remarque

De faÁon symétrique, il est possible de mener un deuxiéme test de líhypothése nulle de processus p* 6 p ) 1 et q * 6 q .

4.3.3 Tests sur les residus

Le processus estimé est évidemment de bonne qualité si la chronique calculée suit les évolutions de la chronique empirique. Les résidus entre les valeurs observées et les valeurs calculées par le modéle, doivent se comporter comme un bruit blanc normal.

Pour montrer que les t t sont un bruit blanc, on doit vériÖer si :

ñLa moyenne des résidus est nulle, sinon il convient díajouter une constante au modéle.

ñ Le graphe des résidus en fonction du temps semble approximativement compatible avec une suite de variables aléatoires non corrélées.

Cíest ainsi que nous proposerons une multitude de tests concernant les caractéristiques du

résidu souhaité.

Test de normalite

Le test de Jarque & Bera (192 .) peut síappliquer pour tester la normalité des résidus. Ce dernier est fondé sur la notion skewness (moment díordre 3 , líasymétrie de la distribution) et Kurtosis (moment díordre . et líaplatissement - épaisseur des queues de distribution). Soit

^% k ^{le moment empirique díordre X du processus}

ç

Skewness

^ç

4

t t E 8 t t]] ^K 6

1 ^<

N

^{tl i}

^ç

(t t t t)

Le skewness est une mesure de líasymétrie de la distribution de la série autour de sa moyenne.

% 3

Le coecents cient du skewness (Sk )est déÖni par : (Sk )^{i+ 2} 6

4

3 + 2

%

2

& N (0 , ^{C *} ).

4

^{" $}

Le skewness díune distribution symétrique, telle que la distribution normale est nulle. Le

skewness positive signiÖe que la distribution a une queue allongée vers la droite et le skew- ness négative signiÖe que la distribution a une queue allongée vers la gauche.

Kurtosis

Le Kurtosis mesure le caractére pointu ou plat de la distribution de la série. Le coecents cient

du Kurtosis (ku ) est déÖni par : ku 6

^&

% 4

4

% 3 ^{" $}

N (3 ,

^C 24

4 ^{). Le Kurtosis de la distribution}

normale est 3 . Si le Kurtosis est supérieure a 3 , la distribution est plutôt pointu relativement

a la normale ; si le Kurtosis est inférieure a 3, la distribution est plutôt plate relativement a

la normale.

On construit alors les statistiques centrées réduites correspondantes a (Bk )^{i+ 2} et ku que líon compare aux seuils díune loi normale centrée réduite

(Bk )^{i+ 2}

4

^{. C} *

4

& N (0 , 1)

^{" $}

^ku ³

4

^C 24

4

& N (0 , 1)

^{" $}

^{Si la statistique centrée réduite de (B}k ^{)i+ 2 est inférieure au seuil 1, 96 a 5 % , on accepte líhy-}

pothése de symétrie et líhypothése de normalité. Si la statistique centrée réduite de ku est inférieure au seuil 1, 96 a 5 % , on accepte líhypothése de queue de distributions plates et líhypothése de normalité.

Jarque-Bera

Le Jarque-Bera est une statistique de test pour examiner si la série est normalement distri- buée. La statistique mesure la di§érence du skewness et du Kurtosis de la série avec ceux de

la distribution normale. La statistique est calculée comme suit :

J B 6

N

6 ^{Bk )}

N

^&

(ku 3 )²

^{2. 4 " $}

x ² (2)

^{Oü B}k ^{est le skewness, k}u ^{est le Kurtosis. Sous líhypothése nulle díune distribution normale,}

i a

la statistique de Jarque-Bera suit asymptotiquement une loi de x ²

avec deux degrés de

i a

liberté ( 6 5 % ), aussi, si J B > x ²

^{(2) on rejette líhypothése H}O ^{de normalité des résidus}

au seuil . La probabilité rapportée associée a cette statistique est la probabilité que la statistique de Jarque-Bera dépasse (en valeur absolue) la valeur observée. Une probabilité faible conduit a rejeter líhypothése nulle díune distribution normale.

Test de Durbin Watson

Le test de Durbin Watson permet de détecter une autocorrélation des résidus díordre 1, sous

la forme t t 6 p t t 1 ) " t oü " t s N (0 , )

Le test díhypothése síécrit :

² )e

^{* H}O ^{: p 6 0 (absence de corrélation)}

^H1 ^{: p 6 0 (présence de corrélation)}

Pour tester líhypothése HO , la statistique de Durbin Watson utilisée est

F

2

^< (t t ç )

7J 6

ç

tl 2

F

^t t 1

^< t ²

^{ç t}

tl 1

t

Oü t sont les résidus de líestimation du modéle.

^ç

De part sa construction, cette statistique est comprise entre 0 et .. On peut aussi montrer

p =0 (p étantp observée). AÖn de tester HO , Durbin Watson ont tabulé

que 7J 6 2 lorsque ç ç

des valeurs critiques7J au seuil de 5 % oü on présentera la table dans líannexe appropriée,

ainsi que le mécanisme du test.

Test de Box - Peirce (1970) (portementeau)

Ce test, encore appelé "test portmenteau", a pour objet de tester le caractére

non autocorrélé des résidus. Le test de Box- Peirce établi a partir de la statistique de que-

p ²

1

nouille Q 6 T ^z

ç h(t )e

hl 1 ^ç

p 2

^ç

^{oü : ç} h^{(t ) est le coecents cient díautocorrélation díordre h des résidus estimés, et H est le nombre}

maximal de retards sous les hypothéses suivantes :

^* HO : p (1) 6 p (2) 6 eeeee 6 p (h) 6 0

^H1 ^{:0 j tel que b} i ^{6 0}

! 1 a )

Cette statistique Q en líabsence díautocorrélation obéit a un x ²

(H p q ) degrés de

liberté oü : p est líordre de la partie AR (saisonnier ou non), q est líordre de la partie M A

et H est le nombre de retards choisis pour calculer les autocorrélations.

4

Pour e§ectuer ce test il est conseillé de choisir H 6 ^T (díaprés Box et Jenkins). Líhypothése

HO est rejetée au seuil de 0 e05 si Q est supérieur au quantile 0.95 de la loi x ² , autrement dit

les régles du test portemanteau sont :

! 1 a )

ñSi Q < x ²

! 1 a )

ñSi Q > x ²

^{(H p q ) on accepte H}O ^{6 ) les p} h

(H p q ) on rejette HO 6 ) les p h

forment un bruit blanc.

ne forment pas un bruit blanc.

Test de Ljung-Box

Ce test est a appliquer, de préférence au test de Box - Peirce, lorsque líéchantillon est de petite taille. La distribution de la statistique du test de Ljung-Box est en e§et plus proche de celle de Khi-deux en petit échantillon que ne líest celle du test de Box - Peirce. La statistique

^ç h^{(6 )}

p

¹ 2

de test síécrit : LB(h) 6 T (T ) 2)^{< ç}

T h

^{hl 1}

Sous líhypothése nulle díabsence díautocorrélation :

p 2 6 t).

⁶ 2 ^{) 6 ....... 6 ç} h^{( ç}

La statistique LB(h) suit une loi de Khi-deux a (H p q ) degrés de liberté.

Test de nullite de la moyenne des residus

Un bruit blanc est díespérance mathématique nulle. On e§ectue donc sur les résidus 6 t prévi- sionnels du modéle un test de nullité de leur moyenne. Pour [ sucents samment grand ([ > 30 )

6 N (m 5 ^{a 8} ) et ^{6 m}

^{' 7 [ a} 8

⁷ [ ' N (0 5 1). Sous líhypothése HO de nullité de la moyenne et un

a 8 a 8

^{seuil díacceptation a 95 % , líintervalle de conÖance de 6 est : 1, 96 7} [ ^{< 6 < 1, 96 7} [

Remarque

[ est le nombre díobservations de la chronique des résidus.

Dans la construction des séries temporelles, on estime souvent plusieurs spéciÖcations. Il peut arriver que deux ou plusieurs modéles soient adéquats, dans ce cas, des tests supplé- mentaires devraient être utilisés pour déterminer la meilleure spéciÖcation, cíest ainsi que nous introduisons les critéres de pouvoir prédictifs portant sur la qualité de líinformation et

du modéle.

CritËre de pouvoir predictif

Dans un modéle ARM A, líerreur de prévision a horizon 1 dépend de la variance du résidu.

On peut alors choisir le modéle conduisant a la plus petite erreur de prévision. Plusieurs indicateurs sont alors possibles :

1 La variance du résidu a ² ,ou la somme des carrés des résidus 8C R.

2 Le coecents cient de determination R² , correspond a une normalisation de la variance.

3 Le coecents cient de determination modife R² .

. La statistique de Fisher.

Le but est de minimiser 1 ou de maximiser 2,3 ou ..

CritËre díinformation

Cette approche a ete introduite par Akaike en 1969, cette mesure de líecart entre le modèle propose et la vraie loi peut être obtenue a líaide de la quantite díinformation de Kullback , cette mesure etant inconnue on essayera de minimiser son estimateur.

Plusieurs estimateurs de la quantite díinformation ont ete propose :

A< C (p, q ) 6 Yo g a ² ) ^{2p ) q} ,

ⁿ

8C (p, q ) 6 Yo g a ² ) (p ) q ) ^{? B= n} , cet estimateur a ete introduit par Schwarz.

ⁿ

Remarques

En pratique, il faut toujours síassurer que le modèle le plus simple est applique Cíest

le principe de parcimonie de la methode de Box & Jenkins. Cíest a dire quíil est parfois preferable de choisir un modèle juge moins bon mais qui contient moins de paramètres. Le modèle obtenu níest pas necessairement le vrai modèle mais cíest celui qui síen approche le plus.

Les tests qui suivent ne fgurent pas dans la demarche de Box & Jenkins, mais nous les utilisons comme complementaires aux tests de validation de cette demarche.

Test de stabilite

Pour examiner si les paramètres du modèle estime sont stables a travers divers sous echan- tillons de líensemble des donnees. La technique empirique recommande le partage de líen- semble des observations n , en 2 sous ensembles :

n 1 líensemble díobservations a employer pour la reestimation du modèle trouve pour líen- semble n et líevaluation.

n 2 (n 2 6 n n 1) líensemble des informations a employer pour les comparer aux valeurs prevues.

Employer toutes les observations disponibles de líechantillon pour líevaluation favorise la recherche des specifcations avec les meilleurs ajustements de líensemble des donnees speci-

fques, mais ne permet pas de tester les previsions du modèle avec les donnees qui níont pas

ete employees en líestimant, ni de determiner la constance, la stabilite et la puissance des paramètres du rapport estime.

Dans le travail de serie chronologique on prend habituellement les premières observations pour líevaluation et les dernières pour le test. Une règle generalement utilisee, est díem- ployer 25 % a 90 % des observations pour líevaluation et le reste pour tester.